中学/高校数学 数学 確率

【カードゲーム】確率の計算方法を解説します(シャドバ、MTGなど)

遊戯王カードを持つ手

シャドバ、ハースストーン、MTG、
カードゲームで遊ぶとき手札はランダムに配られます。

「自分の欲しいカードはどのくらいの確率で来るのか…」
を知っていた方が、有利にゲームを進められることは明らかです。

この記事ではカードゲームで良く使う確率の求め方を解説します。

欲しいカードを引ける確率

全部で40枚のデッキの中にカードAが10枚入ってます。
5枚ドローする間に、
カードAを引いて来れる確率はいくらでしょう。

この確率を計算するに当たって、
”求めたい確率の逆を計算する”というテクニックを使います。

下のベン図の様に、

事象「カードAを引ける」と事象「カードAを引けない」は
お互いに補集合の関係にあります。

ベン図(カードゲームの確率)

カードAを引けない確率を求めて、1から引き算すると
カードAを引ける確率になる理由です。

では5枚ドローしてもカードAを引けない確率を求めて行きます。

デッキ40枚中、カードAでないカードは30枚入ってるので
1枚目のドローでカードAを引けない確率は30/40です。

続けて2枚目のドローの時には、

デッキの枚数は39枚
カードAでないカードの枚数は29枚に減ってるので

2枚連続でカードAを引けない確率は30/40×29/39です。

これを5回繰り返すので、

$$\frac{30}{40}\times\frac{29}{39}\times\frac{28}{38}\times\frac{27}{37}\times\frac{26}{36}=\frac{609}{2812} \hspace{20cm}$$

が求める確率になります。

609/2812を1から引き算すると2203/2812 ≒ 0.78342なので
この問題では約78%の確率でカードAを引けることになります。

計算はソフトに任せる

確率の問題はよく階乗の計算になるので
答えはエクセル等のソフトを使って求めます。

手計算で解こうとすると大変です…。

複数枚引ける確率

少しだけ問題文を書き換えて、

全部で40枚のデッキの中にカードAが10枚入ってます。
5枚ドローする間に、
カードAを2枚以上引いて来れる確率はいくらでしょう。

今度はカードAを2枚以上、手札に抱えておける確率です。
(強いカードはたくさんある方が良いので)

先ほどのベン図に、
事象「カードAを1枚だけ引く」を書き加えます。

ベン図(カードゲームの確率)

図を見ると

先の答えからカードAを1枚だけ引く確率を引き算すると、
カードAを2枚以上引く確率になることが分かります。

カードAを1枚だけ引く場合には例えば、

1枚目でカードAを引き、
残りの4枚は全部カードA以外、の時があります。

これの確率は

$$\frac{10}{40}\times\frac{30}{39}\times\frac{29}{38}\times\frac{28}{37}\times\frac{27}{36} \hspace{20cm}$$

です。

他にも2枚目でカードAを引き、
残りでカードA以外の時もあります。

こっちの確率は

$$\frac{30}{40}\times\frac{10}{39}\times\frac{29}{38}\times\frac{28}{37}\times\frac{27}{36} \hspace{20cm}$$

かけ算は順番を入れ替えても同じ計算結果になるので、
上の二つの確率は等しいことに注意します。

結局、カードAを1枚だけ引く場合とは

1~5枚目のいずれかでカードAを引いて、
残りの全てでカードA以外を引く事であるので

$${}_5\mathrm{C}_1\times\frac{10}{40}\times\frac{30}{39}\times\frac{29}{38}\times\frac{28}{37}\times\frac{27}{36} \hspace{20cm}$$

でカードAを1枚だけ引く確率は求まります。

これをカードAを引ける確率(カードAを1枚以上引く確率)
から引き算して、カードAを2枚以上引く確率を手に入れます。

続けて、カードAを2枚だけ引く確率は

$${}_5\mathrm{C}_2\times\frac{10}{40}\times\frac{9}{39}\times\frac{30}{38}\times\frac{29}{37}\times\frac{28}{36} \hspace{20cm}$$

で求まり同じ様に引き算すると、
今度はカードAを3枚以上引く確率が手に入ります。

この工程をソフトに繰り返させれば
何枚以上引く確率でも求まります。

コンボの成立する確率

カードゲームにおいてコンボは勝利に直結する大事な要素です、
コンボが成立する確率を計算してみます。

全部で40枚のデッキの中に
カードAが12枚、カードBが18枚入ってます。
5枚ドローする間に、
カードAとB両方を引いて来れる確率はいくらでしょう。

ベン図は次の通り、

ベン図(カードゲームの確率)

真ん中の重なってる部分の確率を求めます。

図を見ると、

(カードAを引く確率)+(カードBを引く確率)
 +(カードAもBも引かない確率)-1

で(カードAとB両方を引く確率)になることに気付きます。

カードAを引く確率、カードBを引く確率の求め方は前述の通り。

カードAもBも引かない確率については、

まず(カードAの枚数)+(カードBの枚数)=12+18=30なので

デッキの中に
カードAでもBでもないカードは40-30=10枚入ってます。

なので5回連続でカードAもBも引かない確率は

$$\frac{10}{40}\times\frac{9}{39}\times\frac{8}{38}\times\frac{7}{37}\times\frac{6}{36} \hspace{20cm}$$

です。

初手の引き直し(マリガン)

欲しいカードを狙って、
初手の引き直し(マリガン)をする際の確率も考えてみます。

全部で40枚のデッキの中にカードAが10枚入ってます。
始めに3枚配られて、3枚までなら引き直せるとします。
ゲーム開始後、5枚ドローするまでに
カードAを引ける確率はいくらでしょう。

この問題で難しいのは、

初手にカードAがあるかどうかで
プレイヤーの取る行動が変わってしまうことです。

始めに配られた3枚にカードAがあれば、そのままキープ
無ければ3枚すべて引き直して探しに行きます。

ベン図は初手にカードAの
ある時、ない時に場合分けして次の様にします。

ベン図(カードゲームの確率)

カードAにたどり着けないのは

初手にカードAがなく、
引き直してもドローしても引けない時だけなので

結局この問題も青い部分の確率を
1から引き算する方法で解けます。

始めの3枚の手札にカードAがない確率は、

$$\frac{30}{40}\times\frac{29}{39}\times\frac{28}{38} \hspace{20cm}$$

3枚引き直して、それでも来ない確率は

$$\frac{30}{40}\times\frac{29}{39}\times\frac{28}{38}\times\frac{27}{37}\times\frac{26}{36}\times\frac{25}{35} \hspace{20cm}$$

始めに配られた3枚をデッキに戻してシャッフルし

ゲーム開始後5枚ドローしたのに、
まだカードAが来てくれない確率は

$$\left(\frac{30}{40}\times\frac{29}{39}\times\frac{28}{38}\times\frac{27}{37}\times\frac{26}{36}\times\frac{25}{35}\right) \hspace{20cm}$$

$$\quad \times\left(\frac{27}{37} \times\frac{26}{36}\times\frac{25}{35}\times\frac{24}{34}\times\frac{23}{33}\right) \hspace{20cm}$$

です。

これは約0.02865で、1から引き算すると0.97135

カードAを求めて初手を引き直すと
97%たどり着けることがわかりました。

複数枚、コンボの成立する確率についても基本は同じです。

ですが場合分けの量が増えるので大変です…。

ガチャに応用

ここまでの話は、ガチャの確率にも使えます。

あるソシャゲのガチャでは
☆3キャラが3%の確率で当たります。
10連ガチャで、
☆3キャラを手に入れられる確率はいくらでしょう。

☆3以外の当たる確率は97%なので求める確率は、

$$1-\left(\frac{97}{100}\right)^{10}=0.2625 ... \hspace{20cm}$$

約1/4です。

ガチャの場合は次に当たる確率が一定なので、
すっきりした計算式になります。

まとめ

以上、カードゲームでよく使われる確率の計算方法でした。

これらを計算ソフトの力を借りつつ応用すれば、
大体のカードゲーム関連の確率の問題は解けます。

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