中学/高校数学 数学

【高校数学】
証明の書き方をわかりやすく解説します

証明問題、書き方、と書かれた黒板

高校生になると証明という、
今までとは様子の異なる問題に出逢います。

数学なのに文章で解くことに
難しさと苦手意識を覚える人も多いです。

この記事では、証明問題の答え方を

例文付きでわかりやすく
基本だけに的を絞って説明したいと思います。

証明の仕方

次の簡単な問題を考えます。

例題1

$$a=1 \quad b=2 \hspace{20cm}$$とする時$$a + b = 3 \hspace{20cm}$$であることを証明してください。

証明問題とは

仮定、ならば、結論

証明問題とは仮定(与えられた条件)から
結論(証明を求められていること)を導く作文問題です。

この問題の場合、

仮定はa=1、b=2で
結論はa+b=3となります。

図にすると

a=1 b=2 ならばa+b=3

です。

左側の仮定を上手に使って
右側の結論にたどり着けたら正解をもらえます。

実際に解いてみます。

例題1の証明

仮定の$$a=1 \quad b=2 \hspace{20cm}$$を代入することにより$$a + b = 1 + 2 \hspace{20cm}$$である。ここで$$1 + 2 = 3 \hspace{20cm}$$より$$a + b = 3 \hspace{20cm}$$を得る。よって示された。\(\square\)

三段論法と証明

次に、少しだけ問題を難しくします。

例題2

$$a=1 \quad b=2 \hspace{20cm}$$とする時$$a^2 + b^2 = 5 \hspace{20cm}$$であることを証明してください。

仮定は同じくa=1、b=2で
結論はa2+b2=5です。

例題2の証明

仮定の$$a=1 \quad b=2 \hspace{20cm}$$より$$a^2=1 \quad b^2=4 \hspace{20cm}$$である。これらを代入すれば$$a^2 + b^2 = 1 + 4 \hspace{20cm}$$になる。ここで$$1 + 4 = 5 \hspace{20cm}$$なので$$a^2 + b^2 = 5 \hspace{20cm}$$が示される。\(\square\)

証明の手順を図にします。

a=1 b=2 ならば a^2=1 b^2=4 ならば a^2 + b^2 =5

例題1では仮定から直接、
結論に行けましたが

今回は途中式を挟んで結論にたどり着きました。

仮定ならば途中式ならば結論

A⇒BかつB⇒Cの時A⇒Cなので(三段論法といいます)

この場合も、仮定から結論を導けています。

仮定ならば途中式1ならば途中式2ならば途中式3ならば結論

難しい問題ほど間の途中式の数が増えます。

途中式がいくつあっても
仮定から結論まで一本の矢印で結べていれば、

証明問題を解けたことになります。

テンプレートの解き方

最後に証明の書き方の
テンプレートを説明して終わろうと思います。

例題3

$$a=1 \quad b=2 \quad c=3 \hspace{20cm}$$とする時$$ab < c \hspace{20cm}$$であることを証明してください。

例題3の証明

$$ab < c \hspace{20cm}$$であることを示す。
仮定より、$$a=1 \quad b=2 \hspace{20cm}$$なので$$ab=2 \hspace{20cm}$$また$$c=3 \hspace{20cm}$$も仮定である。ここで$$2 < 3 \hspace{20cm}$$なので$$ab < c \hspace{20cm}$$が示される。\(\square\)

始めにすべきこと

証明問題を解くには、
始めに仮定と結論を確認します。

この問題だと

仮定はa=1、b=2、c=3
結論はab<cです。

見分け方としては、

問題文末に書かれている
証明を求められていることが結論で

その他はすべて仮定です。

書き始め

$$ab < c \hspace{20cm}$$であることを示す。

これから証明することを始めに書きます。

問題文から示すべきことが
明らかに読み取れる時は省略可能です。

途中式

仮定より、$$a=1 \quad b=2 \hspace{20cm}$$なので$$ab=2 \hspace{20cm}$$また$$c=3 \hspace{20cm}$$も仮定である。

仮定を上手に使いながら結論に近付きます。

コツは、どの仮定をどんな風に使ったか
読んでいる人に伝わるように書くことです。

また「同様に」、「自明」といった
証明独自の用語がありますが

無理に使わなくても大丈夫です。

先生がチェックしているのは
仮定から結論まで論理展開できているか、なので

自然な自分の言葉で書きましょう。

終わり方

ここで$$2 < 3 \hspace{20cm}$$なので$$ab < c \hspace{20cm}$$が示される。\(\square\)

途中式を根拠に結論を導きます。

締めの文としては、

  • (結論)+(示された)

もしくは単に

$$ab < c \hspace{20cm}$$である。\(\mathrm{Q.E.D.}\)

  • (結論)+(である)

が一般的です。

文末には四角形を書いて証明の終了を表します。

四角形の代わりにQ.E.D.
と書く流儀もありますが

大体の人は四角形です。

付録

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