【高校数学】
有理数（分数）乗の指数法則の証明

有理数乗について指数法則が成り立ちます。

この記事では

有理数乗の定義から始めて、
有理数乗の指数法則を証明します。

有理数乗の指数法則

実数a、b>0と有理数r、sは次の３つの等式を満たします。

定義の確認

1/n乗

自然数nについて

である。

$\sqrt[n]{a} \quad (= a^{1/n} )$

とも書かれます。

1/n乗を用いて有理数乗は定義されます。

有理数乗

自然数m、nについて

また

である。

まとめるとpを整数として

$a^{p/n} := \sqrt[n]{a^p}$

です。

証明

m、nは自然数。p、qを整数とする。

有理数r、sは

$$r=\frac{p}{m}, \quad s=\frac{q}{n} \hspace{20cm}$$

の様に書かれる。

定義より有理数乗は必ず正の値を持つので、
両辺の適当な自然数乗が等しい事を示せば十分。

整数乗の指数法則は既知とします。

【高校数学】整数乗の指数法則の証明

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$a^{p/m} a^{q/n} = a^{(p/m) +(q/n)}$

左辺をmn乗した物

$(a^{p/m} a^{q/n})^{mn}$

は（整数乗の）三番目の指数法則より

$= (a^{p/m})^{mn} (a^{q/n})^{mn}$

$= (a^{p/m})^{mn} (a^{q/n})^{nm}$

二番目の指数法則より

$= \{(a^{p/m})^m\}^n \{(a^{q/n})^n \}^m$

有理数乗の定義より

$= (a^p)^n (a^q)^m$

一方、右辺のmn乗

$\{ a^{(p/m) +(q/n)} \}^{mn} = \{ a^{ (pn+qm)/(mn)} \}^{mn}$

は有理数乗の定義より

$= a^{ pn +qm}$

一番目の指数法則より

$= a^{ pn} a^{qm}$

二番目の指数法則より

$= (a^p)^n (a^q)^m$

左辺と右辺は共に(a^p)ⁿ(a^q)^mの1/mn乗で等しい。$\square$

$(a^{p/m})^{q/n} = a^{(p/m)(q/n)}$

左辺のmn乗

$\{ (a^{p/m})^{q/n} \}^{mn} = \{ (a^{p/m})^{q/n} \}^{nm}$

は二番目の指数法則より

$= \left[\{ (a^{p/m})^{q/n} \}^n \right]^m$

有理数乗の定義より

$= \{ (a^{p/m})^q \}^m$

二番目の指数法則より

$= (a^{p/m})^{qm}$

$= (a^{p/m})^{mq}$

二番目の指数法則より

$= \{ (a^{p/m})^m\}^q$

有理数乗の定義より

$= (a^p)^q$

二番目の指数法則より

$= a^{pq}$

一方、右辺のmn乗

$\{a^{(p/m)(q/n)} \}^{mn} = (a^{pq/mn} )^{mn}$

は有理数乗の定義より

$=a^{pq}$

左辺と右辺は共にa^pqの1/mn乗で等しい。$\square$

$(ab)^{p/m} = a^{p/m} b^{p/m}$

左辺のm乗

$\{ (ab)^{p/m} \}^m$

は有理数乗の定義より

$=(ab)^p$

一方、右辺のm乗

$(a^{p/m} b^{p/m})^m$

は三番目の指数法則より

$= (a^{p/m})^m (b^{p/m})^m$

有理数乗の定義より

$=a^p b^p$

三番目の指数法則より

$=(ab)^p$

左辺と右辺は共に(ab)^pの1/m乗で等しい。$\square$

まとめ

両辺を自然数乗する
証明方法に気付けるかが大事でした。

参考文献

有理数乗の定義

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【大学数学】
実数乗の指数法則の証明（解析学）

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