大学数学

2024/2/23

【和の公式の親玉】
ベルヌーイ数をわかりやすく説明します

ベルヌーイ数の一つの理解の仕方は、”和の公式の親玉”です。１から100まで足した数１の２乗から100の２乗まで足した数を求める公式を高校数学で習いますが、ベルヌーイ数を使うと任意の自然数m乗の和の公式が求まります。この記事では簡単な地道な計算のみでベルヌーイ数を説明したいと思います。ベルヌーイ数とはベルヌーイ数とは数列{Bn}のことです。１から始まり以降、-1/2、1/6、と無限に続いて行きます。 B0B1B2B3B4B5B61-1/21/60-1/3001/42 奇数番目のベルヌーイ数はB ...

解析学

2023/9/27

【arctanを展開できる】
項別微分・積分の定理とテイラー展開への応用

テイラー展開（マクローリン展開）を求めるには剰余項の収束を示す通常の方法に加えて、項別微分・積分を利用する方法があります。この記事では、べき級数の項別微分・積分の定理を主に扱い対数、逆三角関数をテイラー展開します。また関数項級数が区間で一様収束している条件のもと使える、定理の一般形も紹介します。項別微分の定理定理収束半径r（|x|<rにおいて収束）のべき級数 $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 +a_1 x +a_2 x^2 +\cdot ...

解析学

2023/9/27

対数の値の求め方
（ln2含めすべて計算できます）

対数関数をそのままテイラー展開すると、式の成立するxの範囲の都合でln2くらいしか求まりません。この記事では対数の値の解析に適した形での展開法を紹介して任意の自然対数、常用対数を求める方法を説明します。具体的な値は近似式としてアルゴリズムを組み、数値計算して手に入れます。定理対数の値を求めるには次のテイラー展開を利用します。対数のテイラー展開 $$\begin{eqnarray} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) &=& \sum_{n=0 ...

大学数学

2024/8/5

テイラー展開の公式集
【よく使う関数の展開式一覧】

テイラー展開（マクローリン展開）の公式をまとめてます。一般項、展開式の成り立つxの範囲、収束するかチェックできる様に剰余項（ラグランジュの剰余）を書いてまた、私の理解の浅い部分は参考サイトを載せました。 ↓剰余項の欄がないものは項別積分から求めます。 https://shoma-life-blog.com/%e3%80%90arctan%e3%82%92%e5%b1%95%e9%96%8b%e3%81%a7%e3%81%8d%e3%82%8b%e3%80%91%e9%a0%85%e5%88%a5%e ...

中学/高校数学大学数学数学

2024/2/3

【卒業した人用】
高校数学の単語帳【復習、学び直し】

大人（社会人）になった後、高校数学で勉強した内容をふと確認したくなる事があります。そこで、忘れてしまった用語を思い出すための単語帳を作りました。主に私の個人的な見直しノートなのですがどなたでもご自由にお使いください。高校時代の教科書、精説高校数学改訂版（全４巻）を参考にしました。第１巻数と式 https://shoma-life-blog.com/%e3%80%90%e6%95%b0%e5%ad%a6%e2%85%b0%e3%80%91%e3%80%8c%e6%95%b0%e3%81%a8%e ...

解析学

2023/9/27

一様収束する関数列と、
収束する数列についての定理

f(x)に収束する関数列{fn(x)}に、点aに収束する数列{an}を代入した値{fn(an)}は一般にはf(a)に収束しませんが各点収束より強い一様収束を仮定すれば、します。この記事では一様収束の定義から始めて $$\lim_{n \to \infty} f_n(a_n) = f(a) \hspace{20cm}$$ を証明します。一様収束の定義関数列$ \{ f_n(x) \}_{n=1}^\infty $が関数f(x)にA上一様収束する、は \( \forall \epsilon> ...

大学数学解析学

2023/7/16

【大学数学】
実数乗の指数法則の証明（解析学）

高校数学で習う指数法則は有理数乗までで、実数乗において成り立っているかは厳密な説明を避けています。この記事では、実数の無理数乗の定義から始めて指数法則が実数乗の場合も含め成り立つことを証明します。連続関数の定義、収束列の線形性実数乗の指数法則実数a、b>0と実数x、yは次の３つの等式を満たします。実数乗の指数法則 $ a^x a^y = a^{x+y} $ $ (a^x)^y = a^{xy} $ $ (ab)^x = a^x b^x $ 無理数乗の定義実数乗の指数法則を ...

大学数学

2023/6/24

【LaTeX】頻出コマンドのメモ帳
（一覧、チートシート）

LaTeXで頻出かつ覚えづらいコマンドのみをまとめたメモ帳です。基本の簡単なものは暗記して難しいのだけ見れたら便利と思い作りました。＊コードはコピペ可能で入力の手間要らずです。＊必要に応じて今後も書き足して行く予定です。数式 $\left\{ \begin{eqnarray}ax + by &=& 0 \\ cx + dy &=& 0 \end{eqnarray} \right.$$\verb|\|$left$\verb|\|${ $\verb|\|$ ...

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大学数学

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