【和の公式の親玉】
ベルヌーイ数をわかりやすく説明します

2024年2月23日

ベルヌーイ数の一つの理解の仕方は、
”和の公式の親玉”です。

１から100まで足した数
１の２乗から100の２乗まで足した数

を求める公式を高校数学で習いますが、

ベルヌーイ数を使うと
任意の自然数m乗の和の公式が求まります。

この記事では簡単な地道な計算のみで
ベルヌーイ数を説明したいと思います。

[mathjax]

ベルヌーイ数とは

ベルヌーイ数とは数列{B_n}のことです。

１から始まり以降、-1/2、1/6、と無限に続いて行きます。

B₀	B₁	B₂	B₃	B₄	B₅	B₆
1	-1/2	1/6	0	-1/30	0	1/42

奇数番目のベルヌーイ数はB₁を除きすべて０
という特徴を持ちます。

$B_n = 0 \quad (n \in 2\mathbb{N}+1) \hspace{20cm}$

正確な定義

ベルヌーイ数は正確には次の式で定義されます。

$B_n := \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^k (-1)^r {}_k \mathrm{C}_r \frac{r^n}{k+1} \hspace{20cm}$

ベルヌーイ数を与える式は沢山あり
これは中でも一番わかりやすい物です。

二重和

それでも難しいので見方を説明します。

上式は二重和で書かれています。

二重和は具体的には

$ (1) <img src="https://shoma-life-blog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a8814063c79699e6a914ef6deed2113_l3.png" height="79" width="357" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^2 \sum_{r=0}^k a_{r} &=& \sum_{r=0}^0 a_{r} +\sum_{r=0}^1 a_{r} +\sum_{r=0}^2 a_{r} \\ &=& a_0 +(a_0 +a_1) +(a_0 +a_1 +a_2) \end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>\hspace{20cm}$

の様に計算される
とても多くの項の和です。

B₂の値

試しに定義に従いB₂を求めてみます。

$B_2 := \sum_{k=0}^2 \sum_{r=0}^k (-1)^r {}_k \mathrm{C}_r \frac{r^2}{k+1} \hspace{20cm}$

$\quad (2) <img src="https://shoma-life-blog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-73d7339955777d1fd4f42f387b4aad80_l3.png" height="114" width="345" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*} = \sum_{r=0}^0 (-1)^r {}_0 \mathrm{C}_r \frac{r^2}{0+1} &+&\sum_{r=0}^1 (-1)^r {}_1 \mathrm{C}_r \frac{r^2}{1+1} \\ &+&\sum_{r=0}^2 (-1)^r {}_2 \mathrm{C}_r \frac{r^2}{2+1} \end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> \hspace{20cm}$

$ (3) <img src="https://shoma-life-blog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d822936d69dda3dc910a612591a347b5_l3.png" height="95" width="415" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*} = \{ (-1)^0 {}_0 \mathrm{C}_0 0^2 \} +\left\{ \frac{(-1)^0 {}_1 \mathrm{C}_0 0^2}{2} \right\} +\left\{ \frac{(-1)^1 {}_1 \mathrm{C}_1 1^2}{2} \right\} \\ +\left\{ \frac{(-1)^0 {}_2 \mathrm{C}_0 0^2}{3} \right\} +\left\{ \frac{(-1)^1 {}_2 \mathrm{C}_1 1^2}{3} \right\} +\left\{ \frac{(-1)^2 {}_2 \mathrm{C}_2 2^2}{3} \right\} \end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>\hspace{20cm}$

$\quad= 0 +0 -\frac{1}{2} +0 -\frac{2}{3} +\frac{4}{3}\hspace{20cm}$

$\quad =\frac{2}{3} -\frac{1}{2}\hspace{20cm}$

$\quad= \frac{1}{6} \hspace{20cm}$

０乗と０個の組み合わせ

ベルヌーイ数の計算では整数aについて

$a^0 := 1 \quad {}_a \mathrm{C}_0 := 1\hspace{20cm}$

とします。

なぜ大事？

何故こんな複雑な数を考えるかと言うと

一つの理由は、
べき乗の和の公式が求まるからです。

実は高校数学で習った公式

$\sum_{k=1}^n k \,\, = \frac{1}{2}n(n+1) \hspace{20cm}$

$\sum_{k=1}^n k^2 =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \hspace{20cm}$

はベルヌーイ数を使っても求める事ができます。

１乗の和の公式

$\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{1+1} (B_0 n^{1+1} -{}_{1+1} \mathrm{C}_1 B_1 n ) \hspace{20cm}$

$\quad \quad \,\,= \frac{1}{2}\left\{1 \cdot n^2 -2 \cdot\left(-\frac{1}{2} \right) \cdot n \right\} \hspace{20cm}$

$\quad\quad \,\,= \frac{1}{2}(n^2 +n )\hspace{20cm}$

$\quad\quad \,\,= \frac{1}{2}n(n+1) \hspace{20cm}$

２乗の和の公式

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{2+1} (B_0 n^{2+1} -{}_{2+1} \mathrm{C}_1 B_1 n^2 +{}_{2+1} \mathrm{C}_2 B_2 n^{2-1} )\hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad \!= \frac{1}{3}\left\{1 \cdot n^3 -3 \cdot\left(-\frac{1}{2} \right) \cdot n^2 +3 \cdot\left(\frac{1}{6} \right) \cdot n \right\} \hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad \!=\frac{1}{3} \left\{ n^3 +\frac{3}{2} n^2 +\frac{1}{2} n \right\}\hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad \!=\frac{1}{6}n(2n^2 +3n +1 ) \hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad \!=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\hspace{20cm}$

べき乗の和の公式

一般にm乗の和の公式は、

B₀~B_mのベルヌーイ数で書ける
という次の定理が成立します。

ベルヌーイの公式

$\sum_{k=1}^n k^m = \frac{1}{m+1} \sum_{s=0}^m (-1)^s {}_{m+1} \mathrm{C}_s B_s n^{m+1-s}\hspace{20cm}$

なのでベルヌーイ数を先の定義式で
コンピュータに計算させておけば

任意のべき乗の和の公式が手に入ります。

３乗の和の公式

$ (4) <img src="https://shoma-life-blog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf468166357afb5251b1e4e058c94e64_l3.png" height="79" width="457" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{1}{3+1} (B_0 n^{3+1} &-&{}_{3+1} \mathrm{C}_1 B_1 n^3\\ &+&{}_{3+1} \mathrm{C}_2 B_2 n^{3-1} -{}_{3+1} \mathrm{C}_3 B_3 n^{3-2} ) \end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>\hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad \! (5) <img src="https://shoma-life-blog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d20554aba2110cc8c4f6ec567b39c15b_l3.png" height="92" width="316" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*}=\left. \frac{1}{4}\right\{1 \cdot n^4 &-&4 \cdot\left(-\frac{1}{2} \right) \cdot n^3 \\ &+& \left.6 \cdot\left(\frac{1}{6} \right) \cdot n^2 -4 \cdot 0 \cdot n \right\} \end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>\hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad =\frac{1}{4} (n^4 +2n^3 +n^2 -0 )\hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad =\frac{1}{4}n^2 (n^2 +2n +1 ) \hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad =\frac{1}{4} n^2 (n+1)^2\hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad =\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \hspace{20cm}$

４乗の和の公式

最後に、知っている人の方が少ない
４乗の和の公式を導出します。

$ (6) <img src="https://shoma-life-blog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9142bd6ef52889d61d215a47349ca33d_l3.png" height="79" width="450" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^4 &=& \frac{1}{4+1} (B_0 n^{4+1} -{}_{4+1} \mathrm{C}_1 B_1 n^4\\ &+&{}_{4+1} \mathrm{C}_2 B_2 n^{4-1} -{}_{4+1} \mathrm{C}_3 B_3 n^{4-2} +{}_{4+1} \mathrm{C}_4 B_4 n^{4-3} ) \end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>\hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad \!\! (7) <img src="https://shoma-life-blog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e363e44e13b2abdc317d17e60c51e63_l3.png" height="92" width="364" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{eqnarray*}&=& \frac{1}{5} \left\{1 \cdot n^5 -5 \cdot\left(-\frac{1}{2} \right) \cdot n^4 \right. \\ &+& \left.10 \cdot\left(\frac{1}{6} \right) \cdot n^3 -10 \cdot 0 \cdot n^2 +5 \cdot \left(-\frac{1}{30} \right) \cdot n \right\} \end{eqnarray*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>\hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad = \frac{1}{5}\left\{ n^5 +\frac{5}{2} n^4+ \frac{5}{3} n^3 -0 -\frac{1}{6} n \right\} \hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad =\frac{1}{30} n(6n^4 +15n^3 +10n^2 -1 )\hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad =\frac{1}{30} n(n+1)(6n^3 +9n^2 +n -1 ) \hspace{20cm}$

$\quad\quad \quad =\frac{1}{30} n(n+1)(2n+1)(3n^2 +3n -1 ) \hspace{20cm}$

参考サイト

ゴリゴリの数学になりますが
以下のサイトが勉強になります。

ベルヌーイ数の漸化式は

$B_n = -\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+1} {}_{n+1} \mathrm{C}_k B_k$

です。
（最後に両辺にnの階乗を掛けます）

-解析学

大学数学解析学

2023/10/2

【リーマン積分とは定積分】
リーマン積分をわかりやすく説明。

[mathjax] リーマン積分と聞くと難しく感じますが要は定積分のことです。高校で習った積分には曖昧な部分があるため、大学数学の解析学で厳密に定義し直したものがリーマン積分です。長方形の面積の極限により定義される事、リーマン積分不可能な例、可能になる十分条件まで説明します。リーマン積分とはリーマン積分は高校数学で習った定積分と同じものです。高校の時の定義は曖昧さを含むので、大学では厳密に定義します。高校数学が誤魔化している事高校数学で曖昧なのはです。復習定積分の定義（高校）関 ...

解析学

2026/11/14

【大学数学】
座標変換とは？具体例を紹介しつつ説明

図形に関する問題は xy-座標内で解く事にこだわらず、逆を持つ写像で別のuv-座標に移動し図形を綺麗な形にしてからの方が易しくなる事があります。この際、二つの座標の行き来に用いられる写像を座標変換といい有名なものは線形変換、極座標変換があります。座標変換の定義から始めて具体例でイメージを掴めるよう説明したいと思います。定義 n次元における座標変換は次で定義されます。座標変換（n次元）写像 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ が領域D⊂Rnの上で単 ...

解析学

2023/9/27

【重積分の計算方法】
逐次積分の定理を解説します

[mathjax] 積分の値はリーマンの定義通りには求めづらく一変数の場合、積分と微分が逆の操作である事を利用して解きました。重積分についても同様に難しく、この場合は一変数の積分に分ける逐次積分と呼ばれる方法をとります。逐次積分は直感的には成立して当然かつ条件も関数の連続性のみなので定理として忘れられがちです…。この記事では逐次積分を学び直し積分領域の範囲の定め方や順序交換、ガウス積分、フビニの定理との関連性まで書いて行きます。逐次積分の定理長方形逐次積分の定理（長方形） f(x, ...

解析学

2023/9/27

【arctanを展開できる】
項別微分・積分の定理とテイラー展開への応用

[mathjax] テイラー展開（マクローリン展開）を求めるには剰余項の収束を示す通常の方法に加えて、項別微分・積分を利用する方法があります。この記事では、べき級数の項別微分・積分の定理を主に扱い対数、逆三角関数をテイラー展開します。また関数項級数が区間で一様収束している条件のもと使える、定理の一般形も紹介します。項別微分の定理定理収束半径r（|x|<rにおいて収束）のべき級数 $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 +a_1 x +a_2 ...

解析学

2023/9/27

対数の値の求め方
（ln2含めすべて計算できます）

[mathjax] 対数関数をそのままテイラー展開すると、式の成立するxの範囲の都合でln2くらいしか求まりません。この記事では対数の値の解析に適した形での展開法を紹介して任意の自然対数、常用対数を求める方法を説明します。具体的な値は近似式としてアルゴリズムを組み、数値計算して手に入れます。定理対数の値を求めるには次のテイラー展開を利用します。対数のテイラー展開 $$\begin{eqnarray} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) &=& ...

解析学

2023/9/27

一様収束する関数列と、
収束する数列についての定理

[mathjax] f(x)に収束する関数列{fn(x)}に、点aに収束する数列{an}を代入した値{fn(an)}は一般にはf(a)に収束しませんが各点収束より強い一様収束を仮定すれば、します。この記事では一様収束の定義から始めて

$\lim_{n \to \infty} f_n(a_n) = f(a) \hspace{20cm}$

を証明します。一様収束の定義関数列 $\{ f_n(x) \}_{n=1}^\infty$ が関数f(x)にA上一様収束する、は \( \forall \e ...

【3Dio比較】おすすめはFree Space

【綺麗な音を守る】
ASMRの防音ノイズ対策方法

【和の公式の親玉】
ベルヌーイ数をわかりやすく説明します