ベルヌーイ数の一つの理解の仕方は、
”和の公式の親玉”です。
１から100まで足した数
１の２乗から100の２乗まで足した数
を求める公式を高校数学で習いますが、
ベルヌーイ数を使うと
任意の自然数m乗の和の公式が求まります。
この記事では簡単な地道な計算のみで
ベルヌーイ数を説明したいと思います。
ベルヌーイ数とは
ベルヌーイ数とは数列{Bn}のことです。
１から始まり以降、-1/2、1/6、と無限に続いて行きます。
| B0 | B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | B6 |
| 1 | -1/2 | 1/6 | 0 | -1/30 | 0 | 1/42 |
奇数番目のベルヌーイ数はB1を除きすべて０
という特徴を持ちます。
$$ B_n = 0 \quad (n \in 2\mathbb{N}+1) \hspace{20cm}$$
正確な定義
ベルヌーイ数は正確には次の式で定義されます。
$$ B_n := \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^k (-1)^r {}_k \mathrm{C}_r \frac{r^n}{k+1} \hspace{20cm} $$
ベルヌーイ数を与える式は沢山あり
これは中でも一番わかりやすい物です。
二重和
それでも難しいので見方を説明します。
上式は二重和で書かれています。
二重和は具体的には
$$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^2 \sum_{r=0}^k a_{r} &=& \sum_{r=0}^0 a_{r} +\sum_{r=0}^1 a_{r} +\sum_{r=0}^2 a_{r} \\ &=& a_0 +(a_0 +a_1) +(a_0 +a_1 +a_2) \end{eqnarray}\hspace{20cm}$$
の様に計算される
とても多くの項の和です。
B2の値
試しに定義に従いB2を求めてみます。
$$B_2 := \sum_{k=0}^2 \sum_{r=0}^k (-1)^r {}_k \mathrm{C}_r \frac{r^2}{k+1} \hspace{20cm}$$
$$\quad\begin{eqnarray} = \sum_{r=0}^0 (-1)^r {}_0 \mathrm{C}_r \frac{r^2}{0+1} &+&\sum_{r=0}^1 (-1)^r {}_1 \mathrm{C}_r \frac{r^2}{1+1} \\ &+&\sum_{r=0}^2 (-1)^r {}_2 \mathrm{C}_r \frac{r^2}{2+1} \end{eqnarray} \hspace{20cm} $$
$$\begin{eqnarray} = \{ (-1)^0 {}_0 \mathrm{C}_0 0^2 \} +\left\{ \frac{(-1)^0 {}_1 \mathrm{C}_0 0^2}{2} \right\} +\left\{ \frac{(-1)^1 {}_1 \mathrm{C}_1 1^2}{2} \right\} \\ +\left\{ \frac{(-1)^0 {}_2 \mathrm{C}_0 0^2}{3} \right\} +\left\{ \frac{(-1)^1 {}_2 \mathrm{C}_1 1^2}{3} \right\} +\left\{ \frac{(-1)^2 {}_2 \mathrm{C}_2 2^2}{3} \right\} \end{eqnarray}\hspace{20cm}$$
$$\quad= 0 +0 -\frac{1}{2} +0 -\frac{2}{3} +\frac{4}{3}\hspace{20cm} $$
$$\quad =\frac{2}{3} -\frac{1}{2}\hspace{20cm} $$
$$\quad= \frac{1}{6} \hspace{20cm}$$
０乗と０個の組み合わせ
ベルヌーイ数の計算では整数aについて
$$ a^0 := 1 \quad {}_a \mathrm{C}_0 := 1\hspace{20cm} $$
とします。
なぜ大事？
何故こんな複雑な数を考えるかと言うと
一つの理由は、
べき乗の和の公式が求まるからです。
実は高校数学で習った公式
$$ \sum_{k=1}^n k \,\, = \frac{1}{2}n(n+1) \hspace{20cm}$$
$$ \sum_{k=1}^n k^2 =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \hspace{20cm}$$
はベルヌーイ数を使っても求める事ができます。
１乗の和の公式
$$ \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{1+1} (B_0 n^{1+1} -{}_{1+1} \mathrm{C}_1 B_1 n ) \hspace{20cm}$$
$$\quad \quad \,\,= \frac{1}{2}\left\{1 \cdot n^2 -2 \cdot\left(-\frac{1}{2} \right) \cdot n \right\} \hspace{20cm}$$
$$\quad\quad \,\,= \frac{1}{2}(n^2 +n )\hspace{20cm} $$
$$\quad\quad \,\,= \frac{1}{2}n(n+1) \hspace{20cm}$$
２乗の和の公式
$$ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{2+1} (B_0 n^{2+1} -{}_{2+1} \mathrm{C}_1 B_1 n^2 +{}_{2+1} \mathrm{C}_2 B_2 n^{2-1} )\hspace{20cm} $$
$$\quad\quad \quad \!= \frac{1}{3}\left\{1 \cdot n^3 -3 \cdot\left(-\frac{1}{2} \right) \cdot n^2 +3 \cdot\left(\frac{1}{6} \right) \cdot n \right\} \hspace{20cm}$$
$$\quad\quad \quad \!=\frac{1}{3} \left\{ n^3 +\frac{3}{2} n^2 +\frac{1}{2} n \right\}\hspace{20cm} $$
$$\quad\quad \quad \!=\frac{1}{6}n(2n^2 +3n +1 ) \hspace{20cm}$$
$$\quad\quad \quad \!=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\hspace{20cm} $$
べき乗の和の公式
一般にm乗の和の公式は、
B0~Bmのベルヌーイ数で書ける
という次の定理が成立します。
なのでベルヌーイ数を先の定義式で
コンピュータに計算させておけば
任意のべき乗の和の公式が手に入ります。
３乗の和の公式
$$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{1}{3+1} (B_0 n^{3+1} &-&{}_{3+1} \mathrm{C}_1 B_1 n^3\\ &+&{}_{3+1} \mathrm{C}_2 B_2 n^{3-1} -{}_{3+1} \mathrm{C}_3 B_3 n^{3-2} ) \end{eqnarray}\hspace{20cm}$$
$$\quad\quad \quad \! \begin{eqnarray}=\left. \frac{1}{4}\right\{1 \cdot n^4 &-&4 \cdot\left(-\frac{1}{2} \right) \cdot n^3 \\ &+& \left.6 \cdot\left(\frac{1}{6} \right) \cdot n^2 -4 \cdot 0 \cdot n \right\} \end{eqnarray}\hspace{20cm} $$
$$\quad\quad \quad =\frac{1}{4} (n^4 +2n^3 +n^2 -0 )\hspace{20cm} $$
$$\quad\quad \quad =\frac{1}{4}n^2 (n^2 +2n +1 ) \hspace{20cm}$$
$$\quad\quad \quad =\frac{1}{4} n^2 (n+1)^2\hspace{20cm} $$
$$\quad\quad \quad =\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \hspace{20cm}$$
４乗の和の公式
最後に、知っている人の方が少ない
４乗の和の公式を導出します。
$$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k^4 &=& \frac{1}{4+1} (B_0 n^{4+1} -{}_{4+1} \mathrm{C}_1 B_1 n^4\\ &+&{}_{4+1} \mathrm{C}_2 B_2 n^{4-1} -{}_{4+1} \mathrm{C}_3 B_3 n^{4-2} +{}_{4+1} \mathrm{C}_4 B_4 n^{4-3} ) \end{eqnarray}\hspace{20cm}$$
$$\quad\quad \quad \!\! \begin{eqnarray}&=& \frac{1}{5} \left\{1 \cdot n^5 -5 \cdot\left(-\frac{1}{2} \right) \cdot n^4 \right. \\ &+& \left.10 \cdot\left(\frac{1}{6} \right) \cdot n^3 -10 \cdot 0 \cdot n^2 +5 \cdot \left(-\frac{1}{30} \right) \cdot n \right\} \end{eqnarray}\hspace{20cm}$$
$$\quad\quad \quad = \frac{1}{5}\left\{ n^5 +\frac{5}{2} n^4+ \frac{5}{3} n^3 -0 -\frac{1}{6} n \right\} \hspace{20cm}$$
$$\quad\quad \quad =\frac{1}{30} n(6n^4 +15n^3 +10n^2 -1 )\hspace{20cm} $$
$$\quad\quad \quad =\frac{1}{30} n(n+1)(6n^3 +9n^2 +n -1 ) \hspace{20cm}$$
$$\quad\quad \quad =\frac{1}{30} n(n+1)(2n+1)(3n^2 +3n -1 ) \hspace{20cm}$$
参考サイト
ゴリゴリの数学になりますが
以下のサイトが勉強になります。
ベルヌーイ数の漸化式は$$ B_n = -\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+1} {}_{n+1} \mathrm{C}_k B_k $$です。
（最後に両辺にnの階乗を掛けます）