数学

【イラストでわかる】
指数関数と対数関数の身近な例

指数関数と対数関数は
高校で習う関数の中では一番難しく、

「こんなの勉強して何の役に立つんだ…」

と思った人も多いはず。

実は私たちの生活の身近な所から

果ては高度に科学的な話まで

この関数で説明できる
現象は色々と見つかります。

イラストを取り入れつつ、

どんな例があるか
紹介して行きたいと思います。

指数関数の身近な例

ねずみ算

子供を産んで

一匹のねずみが
二匹に増えて行くとするなら、

ねずみの数は指数関数

\( y = 2^x \)

により計算されます。

ねずみに限らず

人間であれば未来の人口予測、

医療においては
細菌の繁殖のスピードを求めて

処置が間に合うかの判断に利用されます。

金利

年利10%の銀行にお金を預けておくと、

x年後には

\( y = 1.1^x \)

倍になります。

雪だるま式に増えるので

始めは少なくても
段々と大きくなって来ます。

音階

音楽の”ドレミファソラシド”は

ラ(440Hz)を基準音にして、

  • 右に半音ずれるごとに21/12
  • 左に半音ずれるごとに1/21/12

の高さの音で作られています。

ラから右へx半音ずれた音は

\( y =440 \times (2^{1/12})^x \)

左へx半音ずれた音は

$$ y =440 \times \left( \frac{1}{2^{1/12}} \right)^x $$

をそれぞれ周波数に持ちます。

ちなみに1オクターヴは12半音、

12半音先では

\( (2^{1/12})^{12} = 2^{12/12} = 2^1 = 2 \)

より確かに音の高さが2倍になっています。

減って行く場合

りんごを半分に切り続けると

1/2、1/4、1/8の様に小さくなります。

$$ y = \left( \frac{1}{2} \right)^x$$

折り紙を半分に折りつづける工程など

始めは勢いよく
次第に少しずつ0に近付く現象です。

放射性物質の半減期

考古学に応用されていて
遺物の年代測定に利用されます。

炭素14という放射性物質の
半減期は5730年で、

t年後には元の

$$ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/5730} $$

倍にまで減ります。

発掘された動物や植物の体内の
炭素14の量を調べる事で

何年前の物かを逆算できます。

光の減衰

光が水やガラス等の媒質中を進むと

距離に応じて明るさが失われます。

地点Aでの光の強さをFA

距離x進んだ
地点Bでの光の強さをFB

媒質と波長より決まる定数をαとし

ランベルト・ベールの法則

\( F_B = F_A \times e^{-\alpha x } \)

が成り立ちます。

冷める速さ

温かいお茶をカップに注ぐと

始めは周囲の空気に一気に冷まされ、

次第に温度の変化がゆっくりになります。

  • Tt:時刻tのお茶の温度
  • Tm:気温
  • T0:お茶の始めの温度
  • r:カップの形状等で決まる定数

として

ニュートンの冷却法則

\( T_t = T_m +(T_0 -T_m)e^{-rt} \)

が成り立ちます。

発展

指数関数は自然現象に多く見られ、
方程式を解く際に用いられます。

統計学においても
分布の基本となる大事な物です。

対数関数の身近な例

指数関数と対数関数の間には

xとyを入れ換えると

底は同じまま、
もう片方のグラフになる関係があります。

対数関数は先に行くほど平たく、

徐々に鈍感になる現象に用いられます。

味覚

例えば人間の味覚は
調味料の多さに応じて鈍感になります。

唐辛子を一振りより
さらに辛くしたい場合は、

二振り必要です。

もっと辛くするなら
次は4振りくらい要ります。

8振り、16振り、…

の様に必要量が倍々に増えます。

辛さの具合yは、
唐辛子の量xについて

\( y = \log_2 x \)

と書けます。

ヴェーバー-フェヒナーの法則

この人間の感覚が
対数関数に従う性質は

ヴェーバー-フェヒナーの法則と呼ばれます。

古い実験で、

100gの重りを持っている時に10g増えるのと
200gの重りを持っている時に10g増えるのとでは

感じ方に差がある事が起源だそうです。

対数関数と単位

法則によれば

対数は外部からの刺激量を
人間の感じる感覚量に変換してくれます。

重さも常用対数(底が10の対数関数)

に代入すれば、

持ち上げる困難さのレベルを推定できます。

x:重さ10g100g1000g(=1kg)10000g(=10kg)
y:人間の感じ方レベル1レベル2レベル3レベル4
\(y = \log_{10} x \)

科学においても
常用対数は単位の定義に応用されます。

デシベル

音が大きくなるに従い
音量の変化を感じ取りにくくなります。

音量の単位デシベル[dB]の値は
次の式で定義されます。

$$ \mathrm{dB}=20 \log_{10} \frac{p}{p_0} \quad \left(= 10 \log_{10} \frac{p^2}{p_0 ^2} \right) \hspace{20cm}$$

  • p:聞こえてる音の音圧[Pa]
  • p0:人間が聞き取れる最小音圧[Pa]

マグニチュード

地震の揺れも大きくなり過ぎると
ちょっと揺れが増えても分かりません。

地震の大きさの単位マグニチュード[M]は
次の式で定義されます。

$$M = \frac{ -4.8 + \log_{10} E}{1.5} \hspace{20cm}$$

  • E:地震波のエネルギー[J]

pH(ペーハー)

どれだけ水溶液が酸性かは、

液中の水素イオン[H+]のモル濃度(mol/L)

を常用対数に代入して測られます。

\( \mathrm{pH} = -\log_{10} [ \mathrm{H}^+] \)

星の明るさ

星の明るさの目安である等級は
恒星のベガを基準に定められます。

ベガを0等級として

1等級、2等級、3等級、…

数字が大きいほど暗い星です。

$$ (星の等級) = -2.5 \log_{10} \frac{l}{l_{0}} \hspace{20cm}$$

  • l:星の光度[cd]
  • l0:ベガの光度[cd]

等級間の明るさの比が1001/5
になるよう作られています。

大きな数の計算

昔の人たちは対数関数を

\( 12345678 \times 87654321 \)

と言った桁数の大きい数の
掛け算に利用してました。

対数関数の公式の

\( \log AB = \log A + \log B \)

は掛け算を対数関数の世界に持ち込むと

足し算と等しくなる事を意味していて、

複雑な掛け算の問題を

人間にとって容易な
足し算に直してから解いていました。

大航海時代、
天文学と三角関数とこの計算方法により

目的地までの針路を割り出していたそうです。

まとめ

指数関数と対数関数の例を
10個以上紹介しました。

指数関数には、

増えて行く場合と
減って行く場合の2パターンあって

各々

雪だるま式に無限大に発散する現象
次第に0へと消えてしまう現象

の計算に使われます。

対数関数は人間の感覚と深い関わりがあり、

味覚、聴覚、視覚などの
単位を作る際に必要不可欠です。

マグニチュードの式は
私の高校時代の教科書「数学Ⅱ」に載っていた

\( \log_{10} E = 4.8 +1.5M \)

をMについて解いたものです。

↓大学生向けの記事ですが音の減衰も指数関数的です。

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