整数乗について、指数法則が成り立ちますが
証明は教科書には簡単にしか
書かれていないと思います。
なぜかと言うと
厳密に証明しようとすると
計算の量がとても多いからです…。
この記事では、面倒がらずに
整数乗の指数法則を
一つずつ証明して行きます。
整数乗の指数法則
実数a、b≠0と整数p、qは次の３つの等式を満たします。
整数乗の指数法則
- \( a^p a^q = a^{p+q} \)
- \( (a^p)^q = a^{pq} \)
- \( (ab)^p = a^p b^p \)
整数＝｛自然数、０、負の数｝なので証明するには、
全部で９つ通り確かめる必要があります。
かなり長くなります。
自然数乗の証明
自然数nについて
自然数乗の定義
$$a^n := \underbrace{ a \times a \times \cdots \times a}_{n個} \hspace{20cm}$$
である。
m、nは自然数とする。
\( a^m a^n = a^{m+n} \)
$$ a^m a^n = \underbrace{ (a \times \cdots \times a) }_{m個} \times \underbrace{ (a \times \cdots \times a) }_{n個} \hspace{20cm}$$
$$\quad \quad\;\; = \underbrace{ a \times \cdots \times a }_{m+n個}\hspace{20cm}$$
$$ \quad \quad\;\;= a^{m+n} \quad \square \hspace{20cm}$$
\( (a^m)^n = a^{mn} \)
$$ (a^m)^n = (\underbrace{ a \times \cdots \times a }_{m個})^n \hspace{20cm}$$
$$ \quad \quad\;\;\;= \underbrace { (\underbrace{ a \times \cdots \times a ) }_{m個} \times \cdots \times \underbrace{ (a \times \cdots \times a) }_{m個} }_{n個} \hspace{20cm}$$
$$ \quad \quad\;\;\; = \underbrace{ a \times \cdots \times a }_{mn個} \hspace{20cm}$$
\( \quad \quad\;\;\; = a^{mn} \quad \square \)
\( (ab)^n = a^n b^n \)
$$ (ab)^n =\underbrace{ ab \times ab \times \cdots \times ab }_{n個} \hspace{20cm}$$
$$\quad \quad\;\; = \underbrace{(a \times \cdots \times a)}_{n個} \times \underbrace{(b \times \cdots \times b)}_{n個} \hspace{20cm}$$
$$\quad \quad\;\;= a^n b^n \quad \square \hspace{20cm}$$
０乗の証明
０乗の定義
\( a^0 := 1 \)
である。
nは自然数とする。
p=自然数、q=0
\( a^n a^0 = a^{n+0} \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} a^n a^0 &=& a^n \times 1 = a^n \\ a^{n + 0} &=& a^n \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
\( (a^n)^0 = a^{n \times 0} \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} (a^n)^0 &=& 1 \\ a^{n \times 0} &=& a^0 = 1 \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
\( (ab)^n = a^n b^n \)
証明済み。
p=0、q=自然数
\( a^0 a^n = a^{0+n} \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} a^0 a^n &=& 1 \times a^n = a^n \\ a^{0+n} &=& a^n \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
\( (a^0)^n = a^{0 \times n} \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} (a^0)^n &=& 1^n = 1 \\ a^{0 \times n} &=& a^0 = 1 \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
\( (ab)^0 = a^0 b^0 \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} (ab)^0 &=& 1 \\ a^0 b^0 &=& 1 \times 1 = 1 \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
p=q=0
\( a^0 a^0 = a^{0+0} \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} a^0 a^0 &=& 1 \times 1 = 1 \\ a^{0+0} &=& a^0 = 1 \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
\( (a^0)^0 = a^{0 \times 0} \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} (a^0)^0 &=& 1^0 = 1 \\ a^{0 \times 0} &=& a^0 = 1 \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
\( (ab)^0 = a^0 b^0 \)
証明済み。
負の数乗の証明
自然数nについて
負の数乗の定義
$$ a^{-n} := \frac{1}{a^n} \hspace{20cm}$$
である。
m、nは自然数とする。
自然数乗の指数法則を認めます。
p=自然数、q=負の数
\( a^m a^{-n} = a^{m+(-n)} \)
m>nの場合
$$ a^m a^{-n} = a^m \times \frac{1}{a^n} = a^{m-n}= a^{m+(-n)} \hspace{20cm}$$
m=nの場合
$$ a^m a^{-n} = a^m \times \frac{1}{a^n} = 1= a^0= a^{m+(-n)} \hspace{20cm}$$
m<nの場合
$$ a^m a^{-n} = a^m \times \frac{1}{a^n} \hspace{20cm}$$
$$\quad \quad \quad \,= \frac{1}{a^{n-m}} = a^{-(n-m)} = a^{m+(-n)} \hspace{20cm}$$
\( (a^m)^{-n} = a^{m \times (-n)} \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} (a^m)^{-n} &=& \frac{1}{(a^m)^n} = \frac{1}{a^{mn}} \\ a^{m \times (-n)} &=& a^{-mn} = \frac{1}{a^{mn}} \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
\( (ab)^n = a^n b^n \)
証明済み。
p=負の数、q=自然数
\( a^{-m} a^n = a^{(-m)+n} \)
\( \quad \, a^{-m} a^n = a^{(-m)+n} \)
\( \Leftrightarrow a^n a^{-m} = a^{n+(-m)} \)
と見れば証明済み。
\( (a^{-m})^{n} = a^{(-m) \times n} \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} (a^{-m})^{n} &=& \left( \frac{1}{a^m} \right)^n = \frac{1}{(a^m)^n} = \frac{1}{a^{mn}} \\ a^{(-m) \times n} &=& a^{-mn} = \frac{1}{a^{mn}} \end{eqnarray} \right.\hspace{20cm} $$
\( (ab)^{-n }= a^{-n} b^{-n} \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} (ab)^{-n} &=& \frac{1}{(ab)^n} = \frac{1}{a^n b^n} \\ a^{-n} b^{-n} &=& \frac{1}{a^n} \times \frac{1}{b^n} = \frac{1}{a^n b^n} \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
p=0、q=負の数
\( a^0 a^{-n} = a^{0+(-n)} \)
$$ a^0 a^{-n} = 1 \times a^{-n} = a^{-n} = a^{0 +(-n)} \hspace{20cm}$$
\( (a^{0})^{-n} = a^{0 \times (-n)} \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} (a^0)^{-n} &=& 1^{-n} = 1 \\ a^{0 \times (-n)} &=& a^0 = 1 \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
\( (ab)^{0 }= a^{0} b^{0} \)
証明済み。
p=負の数、q=0
\( a^{-n} a^{0} = a^{(-n)+0} \)
$$ a^{-n} a^{0} = a^{-n} \times 1 = a^{-n} = a^{(-n) +0} \hspace{20cm}$$
\( (a^{-n})^{0} = a^{(-n) \times 0} \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} (a^{-n})^0 &=& 1 \\ a^{(-n) \times 0} &=& a^0 = 1 \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
\( (ab)^{-n }= a^{-n} b^{-n} \)
証明済み。
p=q=負の数
\( a^{-m} a^{-n} = a^{(-m)+(-n)} \)
$$ a^{-m} a^{-n} = \frac{1}{a^m} \times \frac{1}{a^n} \hspace{20cm}$$
$$\quad \quad \quad \quad \!\!= \frac{1}{a^{m+n}} = a^{-(m+n)} = a^{(-m)+(-n)} \hspace{20cm}$$
\( (a^{-m})^{-n} = a^{(-m) \times (-n)} \)
$$ (a^{-m})^{-n} =\left( \frac{1}{a^m} \right)^{-n} \hspace{20cm}$$
$$\quad \quad \quad \quad \!= \frac{1}{(1/a^m)^n} \hspace{20cm}$$
$$\quad \quad \quad \quad \!= \frac{1}{(1/a^m)^n} \times \frac{(a^m)^n}{(a^m)^n} \hspace{20cm}$$
$$\quad \quad \quad \quad \!= \frac{(a^m)^n}{\{(1/a^m) \times a^m \}^n} =(a^m)^n =a^{mn} = a^{(-m) \times (-n)} \hspace{20cm}$$
\( (ab)^{-n }= a^{-n} b^{-n} \)
証明済み。
まとめ
以上ですべて示せました。
負の数乗からが難しいですね。
