【高校数学】証明の用語辞典（例文付き）

ゆえに、明らかに、

など証明独自の用語の意味を
数学科卒業生の私がまとめました。

適宜例文を添えて
わかりやすさを意識してます、

証明の勉強にご利用ください。

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基本用語

証明

正しさを示すこと。

定義

数学的対象の説明文。

二等辺三角形の定義は
「三辺の内の二辺が等しい三角形」である。

定理

仮定のもと結論が証明されているもの。

仮定

問題の設定。

結論

証明したい事。

直角三角形である事を仮定すれば
結論a²+b²=c²が証明される、これを三平方の定理と呼ぶ。

公理

定理の内、証明抜きで正しいと認められているもの。

互いに平行な２直線はどこまで伸ばしても交わらない。
（平行線の公理）

動詞

～を示す

証明すべき事を指す動詞。

これから余弦定理を示す。

～を満たす

条件が正しく成立していること。

１は自然数であることを満たす。

～とする（～とおく）

臨時で仮定をおく際の動詞。

線分ABの中点を点Cとする。

接続詞

～だから（～なので）

根拠を表す基本の接続詞。

～より

仮定や定理を援用する際の接続詞。

円周角の定理より∠Aと∠Bは等しい。

ゆえに～

＝以上の理由より。

記号では

\( \therefore \)

と書きます。

逆に～（一方）

ここまでと反対の話をする際の接続詞。

ゆえに集合Aは集合Bに含まれる。
逆に集合Bが集合Aに含まれることを示そう。

ところで

どんな話にも繋げられる接続詞。

ゆえに集合Aは集合Bに含まれる。
ところで集合Cを考えてみよう。

修飾語

明らかに～（明らか、自明）

説明不要なくらい簡単なこと。

明らかに1+1=2である。

一般に～

広い範囲で成り立つこと。

一般に三角形であれば内角の和は180°である。

同様に～（また～）

先と似たような話を意味する修飾語。

１は自然数である。同様に２も自然数である。

特に～

とりわけ大事なものを指す修飾語。

特に０を掛けると答えはすべて０になる。

ただし～

条件を追加する修飾語。

２次関数は一般にax²+bx+cと書かれる、ただしa≠0とする。

論理

任意の～

＝すべての。

任意の偶数は自然数である。

任意に～

＝好きなように。（自由に）

任意に選んだ自然数nが２で割り切れたなら偶数である。

ある～

存在を認めること。

ある直線ℓは線分ABを垂直に二等分する。

AかつB

AとBの両方が満たされていること。

AまたはB

AかBのどちらか一方か
AとBの両方が満たされている事。

一意

１通りだけなこと。

任意の自然数は一意に素因数分解される。
（素因数分解の一意性）

矛盾

同時には起こり得ない事が起きてしまう事。

命題

正しいか正しくないかが明確に決まるもの。

真である（真）

命題が正しいこと。

1+1=2は真である。

偽である（偽）

命題が誤っていること。

1+1=3は偽である。

反証

偽であることを示す証明。

AならばB（A⇒B）

Aが満たされている時、Bも満たされること。

aが自然数ならばa²も自然数である。

aが自然数⇒a²は自然数

十分である

A⇒BにおいてAが満たされている事。

a²が自然数であることを証明するには、
aが自然数であれば十分である。

必要である

A⇒BにおいてBが満たされなければ、ならないこと。

aが自然数であるためには
a²が自然数なことが必要である。

（Aを仮定すれば自動的にBが満たされるから）

AとBは同値である（同値）

A⇒BかつB⇒Aであること。

記号ではA⇔Bと書きます。

AとBが同値であれば

Aが真であることを証明したい時
代わりにBが真であることを証明しても良く

またBが真であることを証明したい時
代わりにAが真であることを証明しても良くなります。

（証明の対象を置き換えられます）

対偶

命題A⇒Bに対する
命題（Bでない）⇒（Aでない）のこと。

「偶数ならば２で割り切れる」の対偶は
「２で割り切れないなら偶数でない」

対偶の真偽は一致します。

証明の種類

（数学的）帰納法で示す

（数学的）帰納法で証明する際の始めの言葉。

帰納法の仮定より～なので

帰納法の仮定を用いる際の言葉。

次の場合に分けて示す（場合分け）

場合分けで証明する際の始めの言葉。

～の時（～の場合）

各場合について述べる際の言葉。

背理法で示す

背理法で証明する際の始めの言葉。

もし（仮に）～であれば（とすれば）

背理法において結論の否定を仮定する際の言葉。

よって矛盾

背理法の終わりの言葉。

反例を挙げて示す

反例を挙げて証明する際の始めの言葉。

反例

A⇒Bの反証においてAであるがBでない例。

A⇒Bが偽であること証明する際に用います。

（Aを満たしているがBを満たさないのでA⇒Bを否定できる）

対偶を示す（対偶法）

対偶法で証明する際の始めの言葉。

証明の結び

従い（従って）、以上より、よって、すなわち

～を得る、～が成り立つ、～が示された（証明された）

１と２の組合せで結びの言葉を作ります。

• よって定理が示された。
• 以上より定理を得る。
• 従い定理が成り立つ。

などです。

題意は示された

＝結論が示された。

あまり使われなくなった用語です。

□

証明の終わりを表す記号。

結びの言葉の右隅に書きます。

よって定理が示された。\( \quad \quad \quad \square \)

■

黒い四角形のこともあります。

よって定理が示された。\( \quad \quad \quad \blacksquare \)

Q.E.D.（QED）

＝よって示された。

結びの言葉でありかつ四角形の代わりにもなります。

以上よりa²+b²=c²である。\( \mathrm{Q.E.D.} \)