底aの指数関数の値の計算方法を解説します。

実用上とても大切な
底aの指数関数の値の計算方法を解説します。

公式

底aの指数関数の値は公式

$$ a^x = e^{x \ln a} = \exp [x \ln a ] \hspace{20cm}$$

a>0, x∈R

により計算されます。

ln(a)と底eの指数関数の値は
テイラー展開による近似で求まるため、

右辺を計算してa^xの値を得ます。

詳しい解説

上式は指数関数の底の変換公式を利用しています。

a, b>0, x∈R

bをeにした物です。

テイラー展開

底eの指数関数

e^xの値はテイラー展開より求まります。

$${e}^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \hspace{20cm} $$

$$\, \quad =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \hspace{20cm}$$

xの範囲

\( |x| < \infty \)

剰余項

$$ \frac{e^{\theta x}}{n!}x^n \hspace{20cm} $$

底eの対数関数

ln(a)の値も同様に求まります。

$$ \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1} x^{2n+1} \hspace{20cm}$$

$$ \quad\quad\quad\quad\quad\, = 2x +\frac{2}{3}x^3 +\frac{2}{5}x^5 +\frac{2}{7}x^7 +\cdots \hspace{20cm} $$

xの範囲

\( |x| < 1 \)

引数の$$ \frac{1+x}{1-x} \hspace{20cm}$$は|x|<1の範囲ですべての正数を動きます。

誤差評価

2n+1次まで計算した際の誤差

$$ R_n = \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) -\left( 2x +\frac{2}{3}x^3 +\cdots +\frac{2}{2n+1}x^{2n+1} \right) \hspace{20cm}$$

はおよそ

$$ 0 \leq R_n < \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{2n+3} \hspace{20cm}$$

で評価されます。

計算例できる物の例

ルートを始めとした累乗根を計算できます。

２乗根（ルート）

$$ \sqrt{2} = 2^{1/2} = e^{(1/2) \ln 2} = \exp\left[\frac{1}{2} \ln 2 \right] \hspace{20cm}$$

３乗根

$$ \sqrt[3]{2} = 2^{1/3} = e^{(1/3) \ln 2} = \exp\left[\frac{1}{3} \ln 2 \right] \hspace{20cm}$$

n乗根

$$ \sqrt[n]{2} = 2^{1/n} = e^{(1/n) \ln 2} = \exp\left[\frac{1}{n} \ln 2 \right] \hspace{20cm}$$

有理数乗

$$ 3^{5/4} = e^{(5/4) \ln 3} = \exp\left[\frac{5}{4} \ln 3 \right] \hspace{20cm}$$

無理数乗

$$ 6^{\sqrt{7} } = e^{\sqrt{7} \ln 6} = \exp\left[\sqrt{7} \, \ln 6 \right] \hspace{20cm}$$

任意のa^xの値を求められます。

誤差評価

求める際にテイラー展開を２回使うので

誤差がどのようになるか調べてみましょう。

テイラー展開により求めたln(a)の近似値をα、
真の値との誤差をε₁

$$ \ln a = \alpha +\epsilon_1\hspace{20cm} $$

exp[xα]の近似値（すなわちa^xの近似値）をβ、
真の値との誤差をε₂

$$ \exp[x \alpha ] = \beta +\epsilon_2 \hspace{20cm}$$

とします。

$$ \exp[x \ln a ] = \exp[x (\alpha +\epsilon_1) ]\hspace{20cm}$$

$$\quad\quad\quad\quad\,\,\,\, = e^{x \alpha} \cdot e^{x \epsilon_1} = (\beta +\epsilon_2) \cdot e^{x \epsilon_1} \hspace{20cm}$$

であり

$$ \epsilon = e^{\theta x \epsilon_1} x \epsilon_1 \quad (0<\exists \theta<1)\hspace{20cm} $$

とおいて（一次の剰余項）

$$ =(\beta +\epsilon_2) \cdot (1 +\epsilon ) =\beta +\beta \epsilon +\epsilon_2 +\epsilon_2 \epsilon\hspace{20cm} $$

となります。

a^xの近似値として計算されたβの誤差は

$$ \beta \epsilon +\epsilon_2 +\epsilon_2 \epsilon\hspace{20cm} $$

です。

また十分小さなε₁について

$$ e^{\theta x \epsilon_1} \fallingdotseq 1, \quad \epsilon_2 \epsilon \ll \epsilon_2 \hspace{20cm}$$

と見做すなら

$$\beta x \epsilon_1 +\epsilon_2 \hspace{20cm}$$

のように簡略化されます。

底eの指数関数の誤差ε₂に

対数関数の誤差ε₁のβx倍を足した程度の誤差に

なっている事がわかりました。

まとめ

底aの指数関数の値は

指数関数の底の変換公式および
底eの指数関数、対数関数のテイラー展開より求まります。

累乗根を始めとして任意のa^xを計算できるので
実用上とても大切です。