中学/高校数学 算数

【くじ引きは平等】わかりやすく説明します
(直感的な証明)

くじを引く手

くじ引きは公平と言われますが
実際どうなのかモヤモヤしますよね…。

そこで、
直感的にわかる方法で説明したいと思います!

その後、数学の証明もきちんとするので

この記事を読み終わる頃には、
安心してくじを引けます。

くじ引きは平等(直感的な証明)

くじ引きで不公平さを感じるのは、引く順番がバラバラだからです。

なので、みんなで同時に引きます。

当たり、はずれ、を書いた紙を伏せて置いて、

「せーのっ!」で引きます。

せーのっ!でくじを引く学生

みんな一緒に引いたので間違いなく公平です。

ここまでは大丈夫ですね。

でも、ちょっと待ってください。

先生が実はこっそりビデオ撮影していました。

スローモーションで再生すると、
みんな一緒に引いたかに見えた動きにも

イケメン教師

女の子(青)→男の子(黄)→女の子(緑)→・・・→男の子(白)

の順番があったそうです。

これは結局、普通のくじ引きと同じですね。

「せーのっ!」を

ゆっくり時間をかけてしてるのが普通のくじ引きです。

そして「せーのっ!」が

公平な引き方なので、普通のくじ引きも公平なのです。

くじ引きは平等(数学的な証明)

このまま終わると、
数学を真面目にしてる人から怒られそうなので

今度は数学的に説明します。
(ここから先の話は面白くないと思います…)

女の子(黄)から順番に引いて行きます。

順番にくじを引く学生

くじ引きは、

  1. 女の子(黄)が6枚の内どれかを引く
  2. 男の子(青)が残った5枚のどれかを引く
  3. 女の子(緑)が残った4枚のどれかを引く
  4. 男の子(赤)が残った3枚のどれかを引く
  5. 女の子(白)が残った2枚のどれかを引く
  6. 男の子(黒)が最後の1枚を引く

の様に進むので、

くじの引かれ方は全部で6×5×4×3×2×1=6!通り、
それぞれ”同程度に確からしく起きます”。

女の子(緑)が白い紙を引く確率

女の子(緑)が白い紙を引く確率を計算してみます。

女の子(緑)が白い紙を引くのは、

  1. 女の子(黄)が白い紙以外の5枚の内どれかを引く
  2. 男の子(青)が白い紙以外の残り4枚のどれかを引く
  3. 女の子(緑)が白い紙を引く
  4. 男の子(赤)が白い紙以外の残り3枚のどれかを引く
  5. 女の子(白)が白い紙以外の残り2枚のどれかを引く
  6. 男の子(黒)が最後の1枚を引く

の時なので5×4×1×3×2×1=5!通りあります。

くじの引かれ方は全部で6!通りあるので、

5!/6!=1/6の確率で
女の子(緑)は白い紙を引きます。

くじを引いた女の子

男の子(赤)が茶色の紙を引く確率

男の子(赤)が茶色の紙を引く確率も計算してみます。

男の子(赤)が茶色の紙を引くのは、

  1. 女の子(黄)が茶色の紙以外の5枚の内どれかを引く
  2. 男の子(青)が茶色の紙以外の残り4枚のどれかを引く
  3. 女の子(緑)が茶色の紙以外の残り3枚のどれかを引く
  4. 男の子(赤)が茶色の紙を引く
  5. 女の子(白)が茶色の紙以外の残り2枚のどれかを引く
  6. 男の子(黒)が最後の1枚を引く

の時なので5×4×3×1×2×1=5!通りあります。

くじの引かれ方は全部で6!通りあるので、

男の子(赤)が
茶色の紙を引く確率も、5!/6!=1/6です。

くじを引いた男の子

どの順番で引いても確率は1/6

つまり、どの順番でどの紙であっても
引く確率は1/6なのです。

途中の5!の計算で×1の場所
が変わるだけで、他はすべて同じです。

みんな等しく、

当たりの紙を引く確率も
はずれの紙を引く確率も1/6なので、くじ引きは公平です。

まとめ

くじ引きの公平さを直感的で楽しい方法♪
数学の順列を用いた面白くない方法…
の二つで説明しました。

くじ引きを安心して引ける人が増えたら良いな、と思います。

-中学/高校数学, 算数
-,