【数学A】「順列と組み合わせ」（後半）
の単語帳

組合せ

n個の異なるものから、

順序を問題にしないで
異なるr個を取り出して作った１組を

”組合せ”といい

その総数を

${}_n\mathrm{C}_r$

と書く。

組合せの総数

r=0の時

また、階乗を使うと

$${}_n \mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \hspace{20cm}$$

とも書ける。

_nP₀=1、0!=1に対応して

${}_n \mathrm{C}_0 = 1$

と定められる。

定理

0≦r≦nの時

${}_n \mathrm{C}_r = {}_n \mathrm{C}_{n-r}$

定理

1≦r≦n-1の時

${}_n \mathrm{C}_r = {}_{n-1} \mathrm{C}_{r-1} +{}_{n-1}\mathrm{C}_r$

同じものを含む順列

n個のものの内、

p個は同じもの、q個は他の同じもの、
r個は更に別の同じもの、…、

である時、
それらn個を並べた順列の総数は

${}_n \mathrm{C}_p \times {}_{n-p} \mathrm{C}_q \times {}_{n-p-q} \mathrm{C}_r \times \cdots$

である。

これは階乗を用いると

$$\frac{n!}{p!q!r! \cdots} \hspace{20cm}$$

と書ける。

重複組合せ

異なるn個のものから
重複を許してr個とった組合せを

”重複組合せ”といい

その総数を

${}_n \mathrm{H}_r$

と書く。

重複組合せの総数

二項定理

一般項と実数の０乗

二項定理において

$a^0 = 1, \quad b^0 = 1$

と定めると、右辺の各項は

${}_n \mathrm{C}_r a^{n-r}b^r$

と書ける。

これを(a+b)ⁿの展開式における

”一般項”という。

また一般項の係数_nC_rは

”二項係数”とも呼ばれる。

３つ以上の文字の二項定理

(a+b+c+…)ⁿの展開式の一般項は

$$\frac{n!}{p!q!r!\cdots} a^pb^qc^r \cdots \hspace{20cm}$$

である。
（同じものを含む順列の応用です）

パスカルの三角形

二項係数_nC₀、_nC₁、_nC₂、…、_nC_nの値を

n=1、2、3、4、5、…の各場合について求め、

上から三角形状に並べた図を

”パスカルの三角形”という。

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【数学A、C】「確率」
（基礎から条件つき確率まで）の単語帳

事象と確率 試行 同じ状態のもとで繰り返し行うことができて、 その結果が偶然に支配される実験や観察などを ”試行”という。 事象 試行の結果として起こる事柄を ”事象”という。 アルファベットを用い事 ...

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【数学A】「順列と組み合わせ」（前半）
の単語帳

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