組合せ
n個の異なるものから、
順序を問題にしないで
異なるr個を取り出して作った１組を
”組合せ”といい
その総数を
\( {}_n\mathrm{C}_r \)
と書く。
組合せの総数
公式
$$ {}_n\mathrm{C}_r = \frac{{}_n \mathrm{P}_r}{r!} = \frac{n(n-1) \cdots (n-r+1)}{r(r-1) \cdots 2 \cdot 1} \hspace{20cm}$$
r=0の時
また、階乗を使うと
$$ {}_n \mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \hspace{20cm}$$
とも書ける。
nP0=1、0!=1に対応して
\( {}_n \mathrm{C}_0 = 1 \)
と定められる。
定理
0≦r≦nの時
\( {}_n \mathrm{C}_r = {}_n \mathrm{C}_{n-r} \)
定理
1≦r≦n-1の時
\( {}_n \mathrm{C}_r = {}_{n-1} \mathrm{C}_{r-1} +{}_{n-1}\mathrm{C}_r \)
同じものを含む順列
n個のものの内、
p個は同じもの、q個は他の同じもの、
r個は更に別の同じもの、…、
である時、
それらn個を並べた順列の総数は
\( {}_n \mathrm{C}_p \times {}_{n-p} \mathrm{C}_q \times {}_{n-p-q} \mathrm{C}_r \times \cdots \)
である。
これは階乗を用いると
$$ \frac{n!}{p!q!r! \cdots} \hspace{20cm} $$
と書ける。
重複組合せ
異なるn個のものから
重複を許してr個とった組合せを
”重複組合せ”といい
その総数を
\( {}_n \mathrm{H}_r \)
と書く。
重複組合せの総数
公式
\( {}_n \mathrm{H}_r = {}_{n+r-1} \mathrm{C}_r \)
二項定理
\( \begin{eqnarray}(a+b)^n = {}_n \mathrm{C}_0 a^n &+&{}_n \mathrm{C}_1 a^{n-1}b +{}_n \mathrm{C}_2 a^{n-2}b^2 + \cdots \\ &+&{}_n \mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \cdots +{}_n \mathrm{C}_{n-1} ab^{n-1} +{}_n \mathrm{C}_n b^n \end{eqnarray} \)
一般項と実数の０乗
二項定理において
\( a^0 = 1, \quad b^0 = 1 \)
と定めると、右辺の各項は
\( {}_n \mathrm{C}_r a^{n-r}b^r \)
と書ける。
これを(a+b)nの展開式における
”一般項”という。
また一般項の係数nCrは
”二項係数”とも呼ばれる。
３つ以上の文字の二項定理
(a+b+c+…)nの展開式の一般項は
$$ \frac{n!}{p!q!r!\cdots} a^pb^qc^r \cdots \hspace{20cm} $$
である。
（同じものを含む順列の応用です）
パスカルの三角形
二項係数nC0、nC1、nC2、…、nCnの値を
n=1、2、3、4、5、…の各場合について求め、
上から三角形状に並べた図を
”パスカルの三角形”という。
