くじ引きは公平と言われますが
実際どうなのかモヤモヤしますよね…。
そこで、
直感的にわかる方法で説明したいと思います！
その後、数学の証明もきちんとするので
この記事を読み終わる頃には、
安心してくじを引けます。
くじ引きは平等（直感的な証明）
くじ引きで不公平さを感じるのは、引く順番がバラバラだからです。
なので、みんなで同時に引きます。
当たり、はずれ、を書いた紙を伏せて置いて、
「せーのっ！」で引きます。
みんな一緒に引いたので間違いなく公平です。
ここまでは大丈夫ですね。
でも、ちょっと待ってください。
先生が実はこっそりビデオ撮影していました。
スローモーションで再生すると、
みんな一緒に引いたかに見えた動きにも
女の子（青）→男の子（黄）→女の子（緑）→・・・→男の子（白）
の順番があったそうです。
これは結局、普通のくじ引きと同じですね。
「せーのっ！」を
ゆっくり時間をかけてしてるのが普通のくじ引きです。
そして「せーのっ！」が
公平な引き方なので、普通のくじ引きも公平なのです。
くじ引きは平等（数学的な証明）
このまま終わると、
数学を真面目にしてる人から怒られそうなので
今度は数学的に説明します。
（ここから先の話は面白くないと思います…）
女の子（黄）から順番に引いて行きます。
くじ引きは、
- 女の子（黄）が６枚の内どれかを引く
- 男の子（青）が残った５枚のどれかを引く
- 女の子（緑）が残った４枚のどれかを引く
- 男の子（赤）が残った３枚のどれかを引く
- 女の子（白）が残った２枚のどれかを引く
- 男の子（黒）が最後の１枚を引く
の様に進むので、
くじの引かれ方は全部で6×5×4×3×2×1=6!通り、
それぞれ”同程度に確からしく起きます”。
女の子（緑）が白い紙を引く確率
女の子（緑）が白い紙を引く確率を計算してみます。
女の子（緑）が白い紙を引くのは、
- 女の子（黄）が白い紙以外の５枚の内どれかを引く
- 男の子（青）が白い紙以外の残り４枚のどれかを引く
- 女の子（緑）が白い紙を引く
- 男の子（赤）が白い紙以外の残り３枚のどれかを引く
- 女の子（白）が白い紙以外の残り２枚のどれかを引く
- 男の子（黒）が最後の１枚を引く
の時なので5×4×1×3×2×1＝5!通りあります。
くじの引かれ方は全部で6!通りあるので、
5!/6!=1/6の確率で
女の子（緑）は白い紙を引きます。
男の子（赤）が茶色の紙を引く確率
男の子（赤）が茶色の紙を引く確率も計算してみます。
男の子（赤）が茶色の紙を引くのは、
- 女の子（黄）が茶色の紙以外の５枚の内どれかを引く
- 男の子（青）が茶色の紙以外の残り４枚のどれかを引く
- 女の子（緑）が茶色の紙以外の残り３枚のどれかを引く
- 男の子（赤）が茶色の紙を引く
- 女の子（白）が茶色の紙以外の残り２枚のどれかを引く
- 男の子（黒）が最後の１枚を引く
の時なので5×4×3×1×2×1=5!通りあります。
くじの引かれ方は全部で6!通りあるので、
男の子（赤）が
茶色の紙を引く確率も、5!/6!=1/6です。
どの順番で引いても確率は1/6
つまり、どの順番でどの紙であっても
引く確率は1/6なのです。
途中の5!の計算で×1の場所
が変わるだけで、他はすべて同じです。
みんな等しく、
当たりの紙を引く確率も
はずれの紙を引く確率も1/6なので、くじ引きは公平です。
まとめ
くじ引きの公平さを直感的で楽しい方法♪
数学の順列を用いた面白くない方法…
の二つで説明しました。
くじ引きを安心して引ける人が増えたら良いな、と思います。