指数関数

2024/2/3

指数関数的に減少（減衰）とは？
わかりやすく説明します。

指数関数的に増加、の反対の意味の指数関数的に減少（減衰）を理系院卒の私がわかりやすく説明します。指数関数的に減少（減衰）とは指数関数的に減少（減衰）とは指数関数 $$ y = \left( \frac{1}{2} \right)^x \hspace{20cm} $$ のグラフのように最初は勢いよく、次第にじりじりと０に向かい減って行くことを意味します。 y=(1/2)xのグラフ略して指数的減衰とも言われます。数式で定義するなら、0<a<1として $ y = a^x $ のグ ...

数学

2024/8/7

【イラストでわかる】
指数関数と対数関数の身近な例

指数関数と対数関数は高校で習う関数の中では一番難しく、「こんなの勉強して何の役に立つんだ…」と思った人も多いはず。実は私たちの生活の身近な所から果ては高度に科学的な話までこの関数で説明できる現象は色々と見つかります。イラストを取り入れつつ、どんな例があるか紹介して行きたいと思います。指数関数の身近な例ねずみ算子供を産んで一匹のねずみが二匹に増えて行くとするなら、ねずみの数は指数関数 $ y = 2^x $ により計算されます。ねずみに限らず人間であれば未来の人口予測、医療 ...

数学

2023/6/7

【累乗の定義まとめ】
指数関数の導出を丁寧に解説

x2、sinx、等を見ていると関数が実数全体を定義域に持つ事は当然に感じられると思います。指数関数axは特殊で、始めはxが自然数の時のみ値を持ちます。この記事では xが自然数でない時について累乗の定義のされ方と理由、指数関数の逆として対数関数が生まれ最終的に指数が複素数まで拡張し得る所まで。指数関数の導出過程をまとめます。指数関数の出発点指数関数は累乗（べき乗）から始まります。累乗とは何かと言うと、同じ数aを自然数n回掛け合わせる計算の事です。 $$\underbrace{ a \ti ...

大学数学

2024/2/22

無理数乗の定義と
指数関数の単調増加、連続性の証明

この記事では大学数学の無理数乗の定義を説明します。合わせて、無理数乗により指数関数が作られ単調増加かつ連続な事を証明してくれているサイト様を紹介し、最後に高校数学の無理数乗の定義に落ち着く所まで書きたいと思います。実数の連続性公理、指数法則、ε-δ論法無理数乗の定義 a>1の場合実数a>1について無理数x乗を無理数乗の定義（a>1） $ a^x := \sup \{ a^r \, | \, r \in \mathbb{Q}, \quad r <x \} $ で定義 ...

中学/高校数学

2023/5/28

【高校数学】
有理数（分数）乗の指数法則の証明

有理数乗について指数法則が成り立ちます。この記事では有理数乗の定義から始めて、有理数乗の指数法則を証明します。有理数乗の指数法則実数a、b>0と有理数r、sは次の３つの等式を満たします。有理数乗の指数法則 $ a^r a^s = a^{r+s} $ $ (a^r)^s = a^{rs} $ $ (ab)^r = a^r b^r $ 定義の確認 1/n乗自然数nについて 1/n乗の定義 $ a^{1/n} := x $ \( ( x^n = a, \quad x > ...

中学/高校数学

2023/5/19

【高校数学】整数乗の指数法則の証明

整数乗について、指数法則が成り立ちますが証明は教科書には簡単にしか書かれていないと思います。なぜかと言うと厳密に証明しようとすると計算の量がとても多いからです…。この記事では、面倒がらずに整数乗の指数法則を一つずつ証明して行きます。整数乗の指数法則実数a、b≠0と整数p、qは次の３つの等式を満たします。整数乗の指数法則 $ a^p a^q = a^{p+q} $ $ (a^p)^q = a^{pq} $ $ (ab)^p = a^p b^p $ 整数＝｛自然数、０、負の数｝なの ...

中学/高校数学大学数学

2023/6/9

負の数の累乗の仕方と
整数乗までの指数法則の証明

負の数の累乗（べき乗）は整数乗までは正の数と同じ計算方法で大丈夫です。すなわち、自然数乗は $ (-1)^n =\underbrace{ (-1) \times (-1) \times \cdots \times (-1) }_{n個} $ の様に自然数n個分を掛け合わせれば良く０乗は $ (-1)^0 = 1 $ 定義より常に１、マイナス乗は $$ (-1)^{-n} = \frac{1}{(-1)^n } \hspace{20cm} $$ 分母に持って行ってn乗します。変わって来るの ...

大学数学

2023/5/25

【底が負の指数関数】
指数法則と引き換えに作れます

指数関数には条件a>0が付けられています。 $ y = (-1)^x $ の様な底が負の指数関数をなぜ除くかと言うと $ (-1)^{1/2} = i $ つまり負の数の1/n乗は複素数になってしまい実数だけでは関数を定義できないからです。そこで複素関数論の教科書を開くと複素数の指数関数という物があり、こちらは底が負でも許されます。しかし実数の時に成り立っていた指数法則が半分失われてしまう事になります。この記事では、複素数の力を借りると底が負でも累乗の定義を満たす指数関数が作れる事 ...

大学数学解析学

2023/7/16

【大学数学】
実数乗の指数法則の証明（解析学）

高校数学で習う指数法則は有理数乗までで、実数乗において成り立っているかは厳密な説明を避けています。この記事では、実数の無理数乗の定義から始めて指数法則が実数乗の場合も含め成り立つことを証明します。連続関数の定義、収束列の線形性実数乗の指数法則実数a、b>0と実数x、yは次の３つの等式を満たします。実数乗の指数法則 $ a^x a^y = a^{x+y} $ $ (a^x)^y = a^{xy} $ $ (ab)^x = a^x b^x $ 無理数乗の定義実数乗の指数法則を ...

指数関数

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中学数学を独学で習得する方法を
わかりやすく解説します。

【数学の使い道】
高校数学までの身近な例まとめ（小学校）

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ASMRの防音ノイズ対策方法