高校数学の単語帳

【数学A】「集合と論理」その1(集合)の単語帳

集合

例えば、1~10までの自然数の集まり。

の様に
そこに含まれている「もの」が明確な

「もの」の集まりを”集合”という。

要素

集合に含まれている、

各「もの」を集合の”要素”という。

属する

aが集合Aの要素である時

aは集合Aに”属する”といい、

\( a \in A \)

または

\( A \ni a \)

と書く。

属さない

同様に、
bが集合Aの要素でない時

bは集合Aに”属さない”といい、

\( b \notin A \)

または

\( A \not\ni b \)

と書く。

部分集合

二つの集合A、Bについて、
Aのどの要素もBの要素である時

AはBの”部分集合”であるといい

\( A \subset B \)

または

\( B \supset A \)

と書く。

包含関係

\( A \subset B \)

\( B \subset A \)

が共に成り立つ時、
集合AとBの要素は完全に一致している。

これをAとBは”等しい”といい、

A=Bと書く。

⊂、=、などで表現される

集合の間の関係を”包含関係”という。

共通部分

二つの集合AとBの
どちらにも共通で属する要素全体の集合を、

AとBの”共通部分”といい

\( A \cap B \)

と書く。

和集合

またAかBの少なくとも
どれか一つに属する要素全体の集合を、

AとBの”和集合”といい

\( A \cup B \)

と書く。

空集合

要素を一つも持たない集合を

”空集合”といい、

\( \phi \)

と書く。

空集合φはすべての集合A
にとっての部分集合と考える。

\( \phi \subset A \)

全体集合

一つの集合Uを指定して、

Uの要素やUの部分集合
だけを考える状況の時

Uを”全体集合”という。

補集合

全体集合Uの部分集合Aについて、

Aに属さないUの要素全体の集合を

Uに関するAの”補集合”といい

\( \overline{A} \)

と書く。

ド・モルガンの法則

定理

\( \overline{ A \cap B } = \overline{A} \cup \overline{B}, \quad \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} \)

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