
べき関数は高校数学において
一次関数、二次関数や
分数関数、無理関数など
色々な名前で登場し
気付いたらべき関数と知らずに
勉強が済んでいる、という代物です。
べき関数の定義と諸性質を
グラフを描きつつ、
わかりやすく説明したいと思います。
目次[開く]
べき関数の定義
aを実数として
y=xa
の様に書かれる関数をべき関数と呼びます。
漢字だと巾関数、または冪関数です。
aを自然数nに限れば
y=xn
お馴染みの一次関数や二次関数になります。
例えばy=xは最も良く知られたべき関数です。

指数関数との違い
べき関数と混同されやすいのが指数関数です。
aを実数として
指数関数
y=ax
べき関数
y=xa
です。
aとxを入れ換えただけ、なので似ています。
両者には密接な関係があり
学校では、
- 自然数乗のべき関数(y=x2、1~n次関数)
- 指数関数
- 整数乗のべき関数(y=1/x、分数関数)
- 有理数乗のべき関数(y=√x、無理関数)
- 実数乗のべき関数
の順番で勉強します。
n次関数から始まり指数関数に寄り道、
指数の拡張を通じて
累乗の定義を実数まで広げ
再びべき関数に帰って来ます。
べき関数→指数関数→べき関数
なのも頭の中で混ざる原因です。
↓累乗の定義はこちら。

べき関数の性質
定義域と極限
べき関数y=xaの定義域はaの値によって変わります。
自然数乗
aが自然数nの時
y=xn
であり定義域は実数全体です。
n=偶数
nを偶数とすると
{limx→−∞xn=∞limx→∞xn=∞
を極限に持つ偶関数です。

n=奇数
またnを奇数とすると
{limx→−∞xn=−∞limx→∞xn=∞
を極限に持つ奇関数かつ単調増加です。

a=0
aが0の時は
y=x0=1
常に1の定数関数になります。

負の数乗
aが負の数-nの時
y=x−n=1xn
であり定義域は
x≠0
です。
分母を0にする点を除きます。
n=偶数
nを偶数とすると
{limx→−∞x−n=0limx→∞x−n=0
{limx→−0x−n=∞limx→+0x−n=∞
を極限に持つ偶関数です。

n=奇数
またnを奇数とすると
{limx→−∞x−n=0limx→∞x−n=0
{limx→−0x−n=−∞limx→+0x−n=∞
を極限に持つ奇関数です。

1/n乗
aが自然数nの逆数1/nの時は
x≥0
を定義域に持ちます。
点0における値は0、極限は
limx→∞x1/n=∞
です。

有理数乗
正の有理数乗
aが正の有理数m/nの時は、
指数法則より
y=xm/n=(x1/n)m
なので、1/n乗のグラフをm乗した物になります。
定義域は等しくx≧0
点0の値は0、極限はプラスの無限大です。

負の有理数乗
aが負の有理数-m/nの時は、
指数法則より
y=x−m/n=(xm/n)−1=1xm/n
なので正の有理数乗のグラフの逆数をとります。
定義域は
x>0
に変わります。
分母0の点を避けます。
{limx→0x−m/n=∞limx→∞x−m/n=0
を極限に持ちます。

無理数乗
無理数乗のべき関数は
有理数乗の極限として与えられます。
y=x√2=limn→∞xrn
ここで{rn}はlimn→∞rn=√2
有理数乗のべき関数で近似できるので
グラフの形、極限も同じになります。

逆関数
べき関数は逆関数もべき関数です。
a≠0として
{f(x)=xag(x)=x1/a
と置くと指数法則より
f(g(x))=(x1/a)a=xa/a=x
また
g(f(x))=(xa)1/a=xa/a=x
も成り立つので
xaの逆関数はx1/aになります。
この際、定義域が変わる事があり要注意です。
連続性
べき関数は連続で
y′=axa−1
を導関数に持ちます。
まとめ
べき関数、と聞くと

何それ?
と思いますが種を明かせば
y=xa
の事です。
ここまで見覚えのあるグラフも多かったと思います。
基本的な関数なので
しっかり押さえておきましょう。