Processing math: 100%

中学/高校数学

【高校数学】べき関数とは?
定義と性質をグラフ付きで説明

べき関数は高校数学において

一次関数、二次関数や
分数関数、無理関数など

色々な名前で登場し

気付いたらべき関数と知らずに
勉強が済んでいる、という代物です。

べき関数の定義と諸性質を

グラフを描きつつ、
わかりやすく説明したいと思います。

べき関数の定義

aを実数として

y=xa

の様に書かれる関数をべき関数と呼びます。

漢字だと巾関数、または冪関数です。

aを自然数nに限れば

y=xn

お馴染みの一次関数や二次関数になります。

例えばy=xは最も良く知られたべき関数です。

y=xのグラフ

指数関数との違い

べき関数と混同されやすいのが指数関数です。

aを実数として

指数関数

y=ax 

べき関数

y=xa     

です。

aとxを入れ換えただけ、なので似ています。

両者には密接な関係があり

学校では、

  • 自然数乗のべき関数(y=x2、1~n次関数)
  • 指数関数
  • 整数乗のべき関数(y=1/x、分数関数)
  • 有理数乗のべき関数(y=√x、無理関数)
  • 実数乗のべき関数

の順番で勉強します。

n次関数から始まり指数関数に寄り道、

指数の拡張を通じて
累乗の定義を実数まで広げ

再びべき関数に帰って来ます。

べき関数→指数関数→べき関数
なのも頭の中で混ざる原因です。

↓累乗の定義はこちら。

べき関数の性質

定義域と極限

べき関数y=xaの定義域はaの値によって変わります。

自然数乗

aが自然数nの時

y=xn

であり定義域は実数全体です。

n=偶数

nを偶数とすると

{limxxn=limxxn=

を極限に持つ偶関数です。

y=x2のグラフ

n=奇数

またnを奇数とすると

{limxxn=limxxn=

を極限に持つ奇関数かつ単調増加です。

y=x3のグラフ

a=0

aが0の時は

y=x0=1

常に1の定数関数になります。

y=x0のグラフ

負の数乗

aが負の数-nの時

y=xn=1xn

であり定義域は

x0

です。

分母を0にする点を除きます。

n=偶数

nを偶数とすると

{limxxn=0limxxn=0

{limx0xn=limx+0xn=

を極限に持つ偶関数です。

y=1/x2のグラフ
n=奇数

またnを奇数とすると

{limxxn=0limxxn=0

{limx0xn=limx+0xn=

を極限に持つ奇関数です。

y=1/xのグラフ

1/n乗

aが自然数nの逆数1/nの時は

x0

を定義域に持ちます。

点0における値は0、極限は

limxx1/n=

です。

y=x1/2のグラフ

有理数乗

正の有理数乗

aが正の有理数m/nの時は、

指数法則より

y=xm/n=(x1/n)m

なので、1/n乗のグラフをm乗した物になります。

定義域は等しくx≧0

点0の値は0、極限はプラスの無限大です。

y=x3/2のグラフ
負の有理数乗

aが負の有理数-m/nの時は、

指数法則より

y=xm/n=(xm/n)1=1xm/n

なので正の有理数乗のグラフの逆数をとります。

定義域は

x>0

に変わります。

分母0の点を避けます。

{limx0xm/n=limxxm/n=0

を極限に持ちます。

y=x-1/2のグラフ

無理数乗

無理数乗のべき関数は
有理数乗の極限として与えられます。

y=x2=limnxrn

ここで{rn}はlimnrn=2

を満たす有理数列。

有理数乗のべき関数で近似できるので

グラフの形、極限も同じになります。

y=x√2のグラフとy=x1.4のグラフ(破線)

逆関数

べき関数は逆関数もべき関数です。

a≠0として

{f(x)=xag(x)=x1/a

と置くと指数法則より

f(g(x))=(x1/a)a=xa/a=x

また

g(f(x))=(xa)1/a=xa/a=x

も成り立つので
xaの逆関数はx1/aになります。

この際、定義域が変わる事があり要注意です。

連続性

べき関数は連続で

y=axa1

を導関数に持ちます。

参考記事

まとめ

べき関数、と聞くと

何それ?

と思いますが種を明かせば

y=xa

の事です。

ここまで見覚えのあるグラフも多かったと思います。

基本的な関数なので
しっかり押さえておきましょう。

-中学/高校数学

S