高校数学の単語帳

数学Ⅱ「等式と不等式の証明」の単語帳

恒等式

例えば、

$$(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2, \quad \frac{1}{x} +\frac{1}{x+1} = \frac{2x +1}{x(x+1)} \hspace{20cm}$$

は文字にどんな値を代入しても
両辺の値が存在する限り、等号が成り立つ。

この様な等式を”恒等式”という。

定理

\( a_n x^n +\cdots +a_1 x +a_0 = 0\)
はxについての恒等式。\(\Leftrightarrow\) \( a_n = \cdots = a_1 = a_0=0\)

また

\( a_n x^n +\cdots +a_1 x +a_0 = a'_n x^n +\cdots +a'_1 x +a'_0 \)
はxについての恒等式。
\(\Leftrightarrow\) \( a_n=a'_n, \cdots, a_1 = a'_1, a_0 = a'_0 \)

係数比較法

等式、

\( a(x-1)^2 +b(x-2) +c = 2x^2 +x +1 \)

が恒等式であるようにa、b、cの値を定めたい。

左辺を展開すると

\( ax^2 +(-2a +b)x +(a -2b +c) \)

であり、
右辺と係数を比較して

\( a=2, \quad -2a +b = 1, \quad a -2b +c = 1 \)

を言える。

これを解くことにより

\( a=2, \quad b = 5, \quad c = 9 \)

と求まる。

この方法を”係数比較法”という。

数値代入法

先の等式にx=0、1、2を代入すると

\( a -2b +c = 1, \quad -b +c = 4, \quad a +c = 11 \)

であり、
これを解いてもa、b、cの値は定まる。

この方法を”数値代入法”という。

P、Qがxのn次以下の多項式で、

n+1個の異なる値に対して
P=Qが成立するならば

P=Qはxについての恒等式である。

比の値

比a:bに対して\( \frac{a}{b} \)を”比の値”という。

比例式

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \hspace{20cm} $$

の様に、

比の値が等しいことを示す等式を”比例式”という。

これはa:b=c:dとも書かれる。

連比

$$ \frac{a}{x} = \frac{b}{y}=\frac{c}{z} \hspace{20cm} $$

の様に、

三つ以上の比の値に関する
比例式はa:b:c=x:y:zと書き、特に

a:b:cをa、b、cの”連比”という。

平均

相加平均

$$ \frac{a+b}{2} \hspace{20cm} $$

をaとbの”相加平均”という。

相乗平均

a>0、b>0の時

\( \sqrt{ab} \)

をaとbの”相乗平均”という。

相加平均、相乗平均の大小関係

定理

a>0、b>0とすれば$$ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \hspace{20cm} $$a=bの時のみ等号が成り立つ。

整数

偶数

正の整数に加え、0、
負の整数も倍数に含めるならば

2の倍数は

\( \cdots,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,\cdots \)

となる。

これらを”偶数”という。
(偶数の定義の一例です)

奇数

偶数でない整数を”奇数”という。

kを整数として
偶数は2k、奇数は2k+1の形に表される。

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