高校数学の単語帳1巻

【数学A】「集合と論理」その2(命題と証明)
の単語帳

命題と集合

命題

式や文章で表された事柄で、

正しいか正しくないかが明確に決まるものを

”命題”という。

真偽

正しい命題は

”真”であるといい、

正しくない命題は

”偽”であるという。

条件

例えば「xは素数である」

の様に、
xのとる値によって真偽の変わる文章、式を

xに関する”条件”という。

仮定と結論

命題は二つの条件p、qを用いて
「pならばq」の形で書かれることが多い。

pを命題の”仮定”、

qを”結論”という。

式で書くと

pq

である。

全体集合

命題の真偽において、

条件を満たすか考える対象
となるもの全体の集合を

その条件の”全体集合”という。

例えば命題

x2=1x=1

は全体集合を
自然数とするならば真であるが、

実数とすれば偽である。

(後者はx2=1の時、x=-1、1なので)

定理

全体集合Uの下、命題p⇒qを考える。

仮定pを満たすUの要素全体の集合をP
結論qを満たすUの要素全体の集合をQ

とすれば

pq は真」と「PQ」は同値

である。

また

pq は真」と「P=Q」は同値

も成り立つ。

反例

偽である命題p⇒qにおいて、

仮定pを満たすが
結論qを満たさない全体集合の要素を

この命題の”反例”という。

否定

条件pについて、条件「pでない」を

その”否定"といい

¯p

と書く。

定理

ド・モルガンの法則に対応して、

二つの条件p、qについての
否定命題には次の関係がある。

p かつ q 、の否定」と「¯p または ¯q」は同値

p または q 、の否定」と「¯p かつ ¯q」は同値

条件の分類

命題p⇒qが成り立っている時

qはpであるための”必要条件”

pはqであるための”十分条件”という。

必要十分条件

命題p⇒qとq⇒pが共に成り立つ時、

すなわちp⇔qである時

pはqであるための”必要十分条件”という。
(qもpであるための必要十分条件)

この関係を

pとqは”同値”、という。

命題の分類

命題p⇒qに対して

  • 命題 qp を、その”逆”
  • 命題 ¯p¯q を、その”裏”
  • 命題 ¯q¯p を、その”対偶”

という。

定理

命題 pq の真偽は、その
対偶 ¯q¯p の真偽と一致する。

対偶法

命題が真であることを示す時、
代わりに対偶を示すと楽になることがある。

背理法

命題を証明する時、

命題が成り立たないと仮定して矛盾を導き

それをもって
命題が成り立つと結論する方法がある。

これを”背理法”という。

数の演算

順序のついた組

集合Mの二つの要素a、bに
順序をつけて並べたものを(a, b)と書く。

(a, b)を”順序のついた組”という。

演算

Mのどんな順序のついた組(a, b)にも
Mの一つの要素cが定まるとする。

(a、b)にcを割り当てる

対応を”演算”といい

記号 を用いて

ab=c

と書く。

例えば有名な演算である足し算を考えると
整数集合の順序のついた組(1, 2)には3が対応します。

演算の開閉

Mの演算 を考える時

Mの部分集合Pのどんな要素a、bも常に

abP

を満たすなら、

Pはこの演算 に対して

”閉じている”という。

四則演算

数や多項式などについての、

加法、減法、乗法、除法の4つの演算を
まとめて

”四則演算”という。

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