【リーマン積分とは定積分】
リーマン積分をわかりやすく説明。

リーマン積分と聞くと
難しく感じますが要は定積分のことです。

高校で習った積分には
曖昧な部分があるため、

大学数学の解析学で
厳密に定義し直したものがリーマン積分です。

長方形の面積の極限により定義される事、

リーマン積分不可能な例、

可能になる十分条件まで説明します。

リーマン積分とは

リーマン積分は高校数学で
習った定積分と同じものです。

高校の時の定義は曖昧さを含むので、
大学では厳密に定義します。

高校数学が誤魔化している事

高校数学で曖昧なのは

です。

復習

直線で囲まれた図形の面積なら
良くわかりますが、

一般に関数は曲線を描きますし

もっと複雑な値のとり方もします。

S(x)とは何かが不明瞭なため
厳密さに欠けます。

長方形を使う

そこで長方形を用いて
関数とx軸の間の面積Sを定めます。

閉区間I=[a, b]をn+1個の点

$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b$

により分割し、
各小区間を短辺に持つ長方形で

下側からと上側から関数を挟み込みます。

分割をΔ、

• 下側からのSの近似をs_Δ
• 上側からのSの近似をS_Δ

と書くなら

$s_\Delta \leq S \leq S_\Delta$

分割を細かくして行けば

はさみうちの原理から
Sが与えられる、と言うのが

リーマン積分の基本理念です。

リーマン積分可能

具体的には関数が有界なら
k=1、2、…、nに対し

$$\left\{ \begin{eqnarray}m_k = \inf_{x_{k-1} \leq x \leq x_k} f(x) \\ M_k = \sup_{x_{k-1} \leq x \leq x_k} f(x)\end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$

とおいて

$$\left\{ \begin{eqnarray} s_\Delta = \sum_{k=1}^n m_k (x_k -x_{k-1}) \\ S_\Delta = \sum_{k=1}^n M_k (x_k -x_{k-1}) \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$

であるよう長方形を作ります。

分割を細かくして行くと

• s_Δは単調増加
• S_Δは単調減少

しながらSへ近付きます。

最終的にs_ΔとS_Δは一つの値へ
収束する事が期待されます。

すなわち
区間Ｉの分割すべての集合をＤとして

$\sup_{\Delta \in D} s_\Delta = \inf_{\Delta \in D} S_\Delta$

です。

この等式が満たされた状態を
リーマン積分可能と呼びます。

リーマン積分

リーマン積分はこの
リーマン積分可能な時のみ定義されます。

はさみうちの原理より

関数とx軸の間の面積が
はっきり分かっているので、

今度こそ厳密に定義されました。

区分求積法

リーマン積分に似た物を高校生も習います。

それが

です。

こちらはn+1個の点

$$a = x_0 < a+\frac{b-a}{n} < a+\frac{2(b-a)}{n} < \hspace{20cm}$$

$$\cdots < a+\frac{(n-1)(b-a)}{n} < x_n = b$$

による分割で長方形を作ります。

リーマン積分不可能な例

リーマン積分を使えば

関数とx軸の間の面積を
必ず定められそうに思えますが、

上手く行かない事もあります。

例としてディリクレ関数を紹介します。

ディリクレ関数は
有理数全体の集合Qを用い

$$f(x) = \left\{ \begin{eqnarray} 1 \quad (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 \quad (x \notin \mathbb{Q}) \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$

で与えられる、実軸上
０と１を同時にとり続けている様な関数です。

この関数の閉区間[0, 1]における
定積分を考えてみると、

任意の分割について

$$\left\{ \begin{eqnarray}0 = \inf_{x_{k-1} \leq x \leq x_k} f(x) \\ 1 = \sup_{x_{k-1} \leq x \leq x_k} f(x)\end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$

なので

$$\left\{ \begin{eqnarray} 0 = \sum_{k=1}^n m_k (x_k -x_{k-1}) \\ 1 = \sum_{k=1}^n M_k (x_k -x_{k-1}) \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$

すなわち

$0 = \sup_{\Delta \in D} s_\Delta \neq \inf_{\Delta \in D} S_\Delta = 1$

となってしまい、

リーマン積分可能の等式が満たされません。

ディリクレ関数を積分できる
ルベーグ積分という理論もあります。

リーマン積分可能になる条件

リーマン積分可能を保障する
十分条件があり、

それは関数が連続な事です。

先程の例は特殊で、

多項式、sin(x)、e^xなど
私たちに馴染み深い関数は連続なので、

リーマン積分は大体の
関数とx軸の間の面積を測ってくれます。

多次元

n次元についても、
リーマン積分は同様に定義されます。

はさみうちの原理を基本に
関数の値を挟み込みます。

２次元すなわち
Ω=[a, b]×[c, d]上の積分とは、

$a= x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{m-1} < x_m =b$

$c= y_0 < y_1 < y_2 < \cdots < y_{n-1} < y_n =d$

によりΩを長方形

$\Delta_{ij} = [x_{i-1}, x_i] \times [y_{j-1}, y_j]$

に分割し

$$\left\{ \begin{eqnarray}m_{ij} = \inf_{(x, y) \in \Delta_{ij} } f(x, y) \\ M_{ij} = \sup_{(x, y) \in \Delta_{ij}} f(x,y)\end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$

とおき長方形Δ_ijの面積を|Δ_ij|と書いて

$$\left\{ \begin{eqnarray} s_\Delta = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n m_{ij} |\Delta_{ij} | \\ S_\Delta = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n M_{ij} |\Delta_{ij} | \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$

とすればs_ΔとS_Δは
関数の値を上下から挟めています。

Ωの分割すべての集合をＤとして

$\sup_{\Delta \in D} s_\Delta = \inf_{\Delta \in D} S_\Delta$

が成立するなら二重積分可能と呼び、

$\sup_{\Delta \in D} s_\Delta$

を記号

$$\iint_\Omega f(x, y) dx dy \hspace{20cm}$$

で表しf(x, y)のΩ上の二重積分と言います。

３次元以降も変数が増えるのみです。

まとめ

高校数学の定積分で不明瞭だった
関数とx軸の間の面積を

長方形による上下からの近似で
測ったのがリーマン積分です。

リーマン積分のおかげで
連続関数とx軸の間の面積は定義されました。

残された問題はディリクレ関数のような、

無限に多くの点で不連続な場合。

（有界かつ有限個の点のみ不連続なら実はリーマン積分可能）

ルベーグ積分へと続いて行きます。

一般にイメージされる面積は
連続な曲線で囲まれているので、

リーマン積分だけでも十分と言えば十分です。

参考文献