集合
例えば、1～10までの自然数の集まり。
の様に
そこに含まれている「もの」が明確な
「もの」の集まりを”集合”という。
要素
集合に含まれている、
各「もの」を集合の”要素”という。
属する
aが集合Aの要素である時
aは集合Aに”属する”といい、
\( a \in A \)
または
\( A \ni a \)
と書く。
属さない
同様に、
bが集合Aの要素でない時
bは集合Aに”属さない”といい、
\( b \notin A \)
または
\( A \not\ni b \)
と書く。
部分集合
二つの集合A、Bについて、
Aのどの要素もBの要素である時
AはBの”部分集合”であるといい
\( A \subset B \)
または
\( B \supset A \)
と書く。
包含関係
\( A \subset B \)
と
\( B \subset A \)
が共に成り立つ時、
集合AとBの要素は完全に一致している。
これをAとBは”等しい”といい、
A=Bと書く。
⊂、＝、などで表現される
集合の間の関係を”包含関係”という。
共通部分
二つの集合AとBの
どちらにも共通で属する要素全体の集合を、
AとBの”共通部分”といい
\( A \cap B \)
と書く。
和集合
またAかBの少なくとも
どれか一つに属する要素全体の集合を、
AとBの”和集合”といい
\( A \cup B \)
と書く。
空集合
要素を一つも持たない集合を
”空集合”といい、
\( \phi \)
と書く。
空集合φはすべての集合A
にとっての部分集合と考える。
\( \phi \subset A \)
全体集合
一つの集合Uを指定して、
Uの要素やUの部分集合
だけを考える状況の時
Uを”全体集合”という。
補集合
全体集合Uの部分集合Aについて、
Aに属さないUの要素全体の集合を
Uに関するAの”補集合”といい
\( \overline{A} \)
と書く。
ド・モルガンの法則
定理
\( \overline{ A \cap B } = \overline{A} \cup \overline{B}, \quad \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} \)
