f(x)に収束する関数列{fn(x)}に、
点aに収束する数列{an}を代入した値{fn(an)}は
一般にはf(a)に収束しませんが
各点収束より強い一様収束を仮定すれば、します。
この記事では一様収束の定義から始めて
$$\lim_{n \to \infty} f_n(a_n) = f(a) \hspace{20cm}$$
を証明します。
一様収束の定義
関数列\( \{ f_n(x) \}_{n=1}^\infty \)が関数f(x)にA上一様収束する、は
\( \forall \epsilon>0, \quad \exists N \in \mathbb{N} \)
\( s.t. \quad \forall x \in A, \quad \forall n \geq N, \quad |f(x) - f_n(x)| < \epsilon \)
と定義されます。
定理
数列\( \{ a_n \}_{n=1}^\infty \)は点aに収束、Aをそのε-近傍$$A \stackrel{\mathrm{def}}{=} \{ x ; |x-a| < \epsilon \} \hspace{20cm}$$とする。この時
関数列\( \{ f_n(x) \}_{n=1}^\infty \)が関数f(x)にA上一様収束し、
かつf(x)は点aで連続
ならば
\( \forall \epsilon>0, \quad \exists N \in \mathbb{N} \)
\( s.t. \quad \forall n \geq N, \quad |f(a) - f_n(a_n)| < \epsilon \)
が成り立つ。
これは特に、fn(an)が任意のnで定義されれば
$$\lim_{n \to \infty} f_n(a_n) = f(a) \hspace{20cm}$$
と書ける。
証明
始めに数列{an}は点aに収束するので
\( \exists N_a \in \mathbb{N} \quad s.t. \quad \forall n \geq N_a \quad a_n \in A \)
に注意する。
Na以上のnについてのみ考え、
fn(an)およびf(an)が定義されているとする。
三角不等式を使い、
\( \quad |f(a) - f_n(a_n)| \)
\( = |f(a) - f(a_n) + f(a_n) - f_n(a_n)| \)
\( \leq |f(a) - f(a_n)| + |f(a_n) - f_n(a_n)| \)
である。
右辺第一項は、f(x)は点aで連続なので
\( \forall \epsilon_1>0, \quad \exists N_1 \in \mathbb{N} \)
\( s.t. \quad \forall n \geq N_1 \quad |f(a) - f(a_n)| < \epsilon_1 \)
よりε1で上から押さえられる。
同様に、第二項はε2で押さえられる。
なぜなら、
関数列{fn(x)}は関数f(x)にA上一様収束するので
\( \forall \epsilon_2>0, \quad \exists N_2 \in \mathbb{N} \)
\( s.t. \quad \forall x \in A, \quad \forall n \geq N_2, \quad |f(x) - f_n(x)| < \epsilon_2 \)
であり、xとしてanを選ぶと
\( |f(a_n) - f_n(a_n)| < \epsilon_2 \)
だからである。
以上より、
\( \epsilon = \epsilon_1 + \epsilon_2, \quad N = \max \{ N_1, N_2 \} \)
と置いて
\( \forall \epsilon>0, \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad s.t. \quad \forall n \geq N, \quad |f(a) - f_n(a_n)| < \epsilon \)
が示された。\(\square\)
参考書籍
この記事を書くとき参考にした本です、
一様収束について丁寧に解説されています。