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恒等式
例えば、
(a+b)2=a2+2ab+b2,1x+1x+1=2x+1x(x+1)
は文字にどんな値を代入しても
両辺の値が存在する限り、等号が成り立つ。
この様な等式を”恒等式”という。
定理
anxn+⋯+a1x+a0=0
はxについての恒等式。⇔ an=⋯=a1=a0=0
また
anxn+⋯+a1x+a0=a′nxn+⋯+a′1x+a′0
はxについての恒等式。
⇔ an=a′n,⋯,a1=a′1,a0=a′0
係数比較法
等式、
a(x−1)2+b(x−2)+c=2x2+x+1
が恒等式であるようにa、b、cの値を定めたい。
左辺を展開すると
ax2+(−2a+b)x+(a−2b+c)
であり、
右辺と係数を比較して
a=2,−2a+b=1,a−2b+c=1
を言える。
これを解くことにより
a=2,b=5,c=9
と求まる。
この方法を”係数比較法”という。
数値代入法
先の等式にx=0、1、2を代入すると
a−2b+c=1,−b+c=4,a+c=11
であり、
これを解いてもa、b、cの値は定まる。
この方法を”数値代入法”という。
P、Qがxのn次以下の多項式で、
n+1個の異なる値に対して
P=Qが成立するならば
P=Qはxについての恒等式である。
比
比の値
比a:bに対してabを”比の値”という。
比例式
ab=cd
の様に、
比の値が等しいことを示す等式を”比例式”という。
これはa:b=c:dとも書かれる。
連比
ax=by=cz
の様に、
三つ以上の比の値に関する
比例式はa:b:c=x:y:zと書き、特に
a:b:cをa、b、cの”連比”という。
平均
相加平均
a+b2
をaとbの”相加平均”という。
相乗平均
a>0、b>0の時
√ab
をaとbの”相乗平均”という。
相加平均、相乗平均の大小関係
定理
a>0、b>0とすればa+b2≥√aba=bの時のみ等号が成り立つ。
整数
偶数
正の整数に加え、０、
負の整数も倍数に含めるならば
２の倍数は
⋯,−8,−6,−4,−2,0,2,4,6,8,⋯
となる。
これらを”偶数”という。
（偶数の定義の一例です）
奇数
偶数でない整数を”奇数”という。
kを整数として
偶数は2k、奇数は2k+1の形に表される。
