高校数学の単語帳

【数学Ⅱ】「複素数と方程式」の単語帳

複素数

虚数単位

平方すると-1になる新しい数iを
一つ考えて”虚数単位”と呼ぶ。

すなわち

\( i^2 = -1 \)

である。

複素数

二つの実数a、bを用いて

\(a +bi \)

と書かれる数を考え”複素数”と呼ぶ。

実部・虚部

複素数a+biにおいて
aを”実部”、bを”虚部”という。

虚数

b≠0の時、複素数a+biを”虚数”という。
(b=0の時が実数)

加えてa=0でもあれば、
虚数biを”純虚数”という。

複素数の相当

二つの複素数が等しいことを、次の様に定める。

\( a +bi = c +di \Leftrightarrow a=c, \quad b=d \)

特に

\( a +bi = 0 \Leftrightarrow a=0, \quad b=0 \)

共役な複素数

複素数a+biと
虚部の符号だけ異なる複素数a-biを、

a+biと”共役な複素数”という。

\( α=a+bi \)

に対して共役な複素数は

\( \bar{\alpha} = a -bi \)

と文字の上に線を引いて表される。

負の数の平方根

aを正の数として方程式、

\( x^2 = -a \)

の解を考える。

\( \quad x^2 = -a \)

\( \Leftrightarrow x^2 +a= 0 \)

\( \Leftrightarrow (x +\sqrt{a}i)(x-\sqrt{a}i)= 0 \)

より√aiと-√aiは
負の数-aの平方根である。

この内、√aiを”√-a”と定める。

特に√-1=iである。

定理

負の数-aの平方根は√aiと-√aiの二つのみ。

証明

複素数α、βについて

\( \alpha \beta = 0 \Rightarrow \alpha=0\) または \( \beta=0 \)

が成り立つから。\(\square\)

高次方程式

P(x)がxのn次式である時、
方程式P(x)=0を”n次方程式”という。

3次以上の方程式を”高次方程式”という。

定理

an、...、a1、a0を実数とする。
虚数αがn次方程式、

\( a_n x^n +\cdots +a_1 x +a_0 =0 \)

の解ならばαと共役な複素数もまた解である。

証明

αは方程式の解なので

\( a_n \alpha^n +\cdots +a_1 \alpha +a_0 =0 \)

両辺と共役な複素数を考えると、

\( \quad \overline{a_n \alpha^n +\cdots +a_1 \alpha +a_0} =\bar{0} \)

\( \Leftrightarrow \overline{a_n \alpha^n} +\cdots +\overline{a_1 \alpha }+a_0 =0 \)

\( \Leftrightarrow \overline{a_n} \overline{\alpha^n} +\cdots +\overline{a_1} \bar{ \alpha }+a_0 =0 \)

\( \Leftrightarrow a_n \bar{\alpha}^n +\cdots +a_1 \bar{ \alpha }+a_0 =0 \)

よってαと共役な複素数も解である。\( \square \)

多重解

例えば方程式

\( x(x-1)^2 (x-2)^3 =0 \)

において、
解x=1を”2重解”、x=2を”3重解”という。

2重解を2個、
3重解を3個の解と数えるならば

すべてのn次方程式は
n個の解を持つことが知られている。

次の単元

前の単元

単語帳トップへ

-高校数学の単語帳