sin45°、cos60°といった有名角の値は求まりますが
sin10°、cos20°などには三角関数表が必要です。
この記事では
三角関数の値の計算に使われている公式を紹介、
使い方をcos60°を例に確かめた後
エクセルに応用して
三角関数表が本当に作れる事を見たいと思います。
目次[開く]
三角関数の公式
三角関数の値の計算には
大学で習う次の公式を用います。
sinxの公式
sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯
(=∞∑n=0(−1)nx2n+1(2n+1)!)
cosxの公式
cosx=1−x22!+x44!−x66!+⋯
(=∞∑n=0(−1)nx2n(2n)!)
タンジェントはサインとコサインから求まります。
tanxの公式
tanx=sinxcosx
xにはラジアンを代入
上の公式のxにはラジアン[rad]の形で角度を代入します。
例えばcos60°を求めたい時は、
60∘=π3[rad]
なので
cosπ3=1−12!⋅(π3)2+14!⋅(π3)4−16!⋅(π3)6+⋯
となります。
右辺の足し算は無限に続くので
全てを計算する事は無理です。
そこで途中までの計算結果を誤差を許容して認めます。
無限の部分を切り捨てて、
cosπ3≒1−12!⋅(π3)2+14!⋅(π3)4−16!⋅(π3)6
とし円周率3.14で計算を続けると
≒1−12!⋅(3.143)2+14!⋅(3.143)4−16!⋅(3.143)6
≒1−0.548+0.05−0.00183
=0.50017
正確な値cos60°=1/2=0.5000…と比較して
小数点以下第３位までは一致しています。
小数第３位付近までの三角関数表を作る事ができます。
足し算の量を増やすと、
小数第何位までの三角関数表も作れます。
三角関数表の作り方
ここからはエクセルを使い、
実際に三角関数表を作って行きます。
角度を入力
始めに０~90°まで角度を入力します。
A列に0、1、2と書き込んで、
範囲選択したら右下にカーソルを合わせ
下に向けてドラッグします。
ラジアンに変換
角度の入力が済んだら
度数法から弧度法に直します。
360∘=2π[rad]
の関係があるので
1∘=2π360[rad]
です。x°は
x∘=2π360x[rad]
の様にラジアンへと変換されます。
円周率は3.14としてB2セルには
=A2*6.28/360と書き込みます。
同様に下までドラッグします。
sinx
サインから順番に三角関数の値を求めます。
sinxの近似式は
sinx≒x−x33!+x55!−x77!
だったのでC2セルには
=B2-B2^3/FACT(3)+B2^5/FACT(5)-B2^7/FACT(7)と書き込みます。
cosx
続いてcosxの近似式は
cosx≒1−x22!+x44!−x66!
なのでD2セルに
=1-B2^2/FACT(2)+B2^4/FACT(4)-B2^6/FACT(6)と書き込みます。
tanx
最後にタンジェントは
tanx=sinxcosx
よりE2セルに
=C2/D2と書き込んで終了です。
完成
三角関数表を作れました。
色を塗ってPDFとして出力した物がこちら
三角関数表まとめ
どんな角度の三角関数も求められる公式は
テイラー展開と言い、
大学の理系学部に行くと勉強できます。
最も有名な計算ソフトである
エクセルを例に、
公式の応用で
三角関数表を作れることを確かめました。