複素数の分数の計算は実数の時と同じ様に、
掛け算は
$$ \frac{\beta}{\alpha} \times \frac{\delta}{\gamma} = \frac{\beta \delta}{ \alpha \gamma } \hspace{20cm}$$
分母と分母、分子と分子を掛け合わせれば良く
足し算は
$$ \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\delta}{\gamma} = \frac{\beta \gamma}{\alpha \gamma} +\frac{\alpha \delta}{\alpha \gamma} = \frac{\beta \gamma +\alpha \delta}{\alpha \gamma} \hspace{20cm}$$
通分して分子を足したら答えです。
これを当然として学校の授業は進みますが
実数で成り立っている事が
複素数でも成り立つとは限らないので、
厳密には証明が必要です。
この記事では複素数の四則演算の構築から始めて
分数を定義、足し算と掛け算を公式として証明します。
大学１年生くらいの数学の知識を前提にします。
四則演算
和と積の定義
二つの複素数
$$ \left\{ \begin{eqnarray} \alpha = a +ib \\ \beta = c +id \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
に対して、
和と積は虚数単位iを一つの文字として
扱った計算結果として定義されます。
すなわち
複素数の和
\( \alpha +\beta := (a+c) +i(b+d) \)
複素数の積
\( \alpha \beta := (ac -bd) +i(ad +bc) \)
とします。
複素数体
この定義により複素数は体を成します。
すなわち
可換性
\( \alpha +\beta = \beta + \alpha, \quad \alpha \beta = \beta \alpha \)
結合性
\( (\alpha +\beta) +\gamma = \alpha +(\beta +\gamma), \quad (\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma) \)
分配性
\( \alpha (\beta +\gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma \)
という３つの計算法則が成り立ち、
加法、乗法の逆として減法、除法が定義できます。
除法の可能性と分数
除法は乗法の逆、つまり
\( \alpha \xi = \beta \quad (\alpha \neq 0) \)
を満たすξをβ÷αの答えとして採用します。
このξは連立方程式を解く事により
$$ \xi = \frac{ ac +bd }{ a^2 +b^2 } +i \frac{ ad -bc }{a^2 +b^2 } \hspace{20cm}$$
という唯一つの値に定まるので除法が可能です。
分数β/αはβ÷αの値として導入されます。
分数の定義
$$ \frac{\beta}{\alpha} := \xi \left( = \frac{ ac +bd }{ a^2 +b^2 } +i \frac{ ad -bc }{a^2 +b^2 } \right) \hspace{20cm}$$
複素数の分数の掛け算
複素数の計算法則と分数の定義の確認が済んだので、
複素数の分数の掛け算が
実数の時と同じ様にできる事を証明して行きます。
定理１
$$ \frac{\beta}{\alpha} \times \frac{\delta}{\gamma} = \frac{\beta \delta}{ \alpha \gamma } \hspace{20cm}$$
証明
適当な複素数zを用意して
$$ \frac{\beta}{\alpha} \times \frac{\delta}{\gamma}= z \hspace{20cm}$$
とおく。
両辺にαγを掛けると
$$\Leftrightarrow \alpha \gamma \times \frac{\beta}{\alpha} \times \frac{\delta}{\gamma} = \alpha \gamma z \hspace{20cm}$$
可換性と結合性により
$$\Leftrightarrow \left( \alpha \times \frac{\beta}{\alpha} \right) \times \left( \gamma \times \frac{\delta}{\gamma} \right) = \alpha \gamma z \hspace{20cm}$$
分数の定義により
$$\Leftrightarrow \beta \times \delta = \alpha \gamma z \hspace{20cm} $$
$$\Leftrightarrow \beta \delta = (\alpha \gamma) z \hspace{20cm}$$
zはαγを掛けるとβδになる複素数なので
$$ z = \frac{\beta \delta}{\alpha \gamma} \hspace{20cm}$$
まとめると
$$ \frac{\beta}{\alpha} \times \frac{\delta}{\gamma} = z = \frac{\beta \delta}{ \alpha \gamma } \quad \square \hspace{20cm}$$
複素数の分数の足し算
続いて足し算についても示します。
定理２
$$ \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\delta}{\gamma} = \frac{\beta \gamma +\alpha \delta}{\alpha \gamma} \hspace{20cm}$$
証明
適当な複素数zを用意して
$$ \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\delta}{\gamma} = z \hspace{20cm} $$
とおく。
両辺にαγを掛けると
$$\Leftrightarrow \alpha \gamma\left( \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\delta}{\gamma} \right) = \alpha \gamma z \hspace{20cm} $$
分配性により
$$\Leftrightarrow \alpha \gamma \times \frac{\beta}{\alpha} + \alpha \gamma \times \frac{\delta}{\gamma} = \alpha \gamma z \hspace{20cm}$$
可換性と結合性により
$$\Leftrightarrow \left( \alpha \times \frac{\beta}{\alpha} \right) \gamma + \alpha \left( \gamma \times \frac{\delta}{\gamma} \right) = \alpha \gamma z \hspace{20cm}$$
分数の定義により
$$\Leftrightarrow \beta \gamma + \alpha \delta = \alpha \gamma z \hspace{20cm} $$
$$\Leftrightarrow \beta \gamma + \alpha \delta = (\alpha \gamma) z \hspace{20cm}$$
zはαγを掛けるとβγ+αδになる複素数なので
$$ z = \frac{\beta \gamma +\alpha \delta}{\alpha \gamma} \hspace{20cm}$$
まとめると
$$ \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\delta}{\gamma} = z= \frac{\beta \gamma +\alpha \delta}{\alpha \gamma} \quad \square \hspace{20cm}$$
まとめ
分数の定義に基づき、
掛け算については可換性と結合性。
足し算については加えて
分配性のおかげで証明できました。