【大学数学】
座標変換とは？具体例を紹介しつつ説明

図形に関する問題は

xy-座標内で解く事にこだわらず、

逆を持つ写像で
別のuv-座標に移動し

図形を綺麗な形にしてからの方が
易しくなる事があります。

この際、

二つの座標の行き来に用いられる
写像を座標変換といい

有名なものは線形変換、極座標変換があります。

座標変換の定義から始めて
具体例でイメージを掴めるよう説明したいと思います。

定義

n次元における座標変換は次で定義されます。

２次元の場合、写像は

$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$

定義域をuv-平面
値域をxy-平面と名付けるなら

$(x, y) = f(u, v)$

の形でfは与えられます。

領域Dで単射より
fの定義域をDに制限した写像

$f: D \to f(D)$

は全単射、f(D)からDへの逆写像f^-1が存在し

Dとf(D)の間をこれらの写像を通じて
行き来できる状況になっています。

なるべく綺麗な形のD（多くは長方形）、
適切なfを用意して

f(D)と問題になっている図形を等しくします。

Dとf(D)の各点はfで対応付いているため

uv-平面で解いた結果をxy-平面に還元できます。

この定義に加えて偏微分可能性を仮定し
ヤコビアンを計算できる様にする事も多いです。

具体例

２次元の座標変換の例を紹介して行きます。

平行移動

平行移動する座標変換は次で与えられます。

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

対象の図形を原点に持って来れます。

拡大・縮小

拡大または縮小する座標変換は次で与えられます。

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \quad \left( = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \right) \hspace{20cm}$$

単位幅に揃えられます。

反転

横軸について鏡写しにする
座標変換は次で与えられます。

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u \\ -v \end{bmatrix} \quad \left( = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \right) \hspace{20cm}$$

回転

反時計回りにθ回転する
座標変換は次で与えられます。

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}\hspace{20cm}$$

斜めになっている図形を整えられます。

角度θの軸についての反転

角度θの直線ℓを軸にした反転は次で与えられます。

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

-θ回転が

$$\begin{bmatrix} \cos (-\theta) & -\sin (-\theta) \\ \sin (-\theta) & \cos (-\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

なので下図の通りに合成しています。

線形写像

線形写像

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

は行列式の値が０の時
単射であり座標変換として扱えます。

これは

$$=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \left( u \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} +v \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) \hspace{20cm}$$

$$= u \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} +v \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

の様に書けるので

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

を単位ベクトルとする座標（通常の直交座標）

において(u, v)の位置に居た点が

$$\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

を単位ベクトルとする座標の
(u, v)の位置に移動したと理解できます。

斜交座標と同じ考え方です。

正方形

$\{ (u, v) \, | \, 0<u<1, \, 0<v<1 \}$

をベクトル(a, c)、(b, d)で張られる平行四辺形に写します。

性質

線形写像で０は０に

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

また直線は直線に写ります。

$$\quad \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \left( \overrightarrow{\mathrm{OA}} +t\overrightarrow{\mathrm{AB}} \right) \hspace{20cm}$$

$$= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \overrightarrow{\mathrm{OA}} +t \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \hspace{20cm}$$

アフィン写像用語

ここまでの平行移動、回転などの
座標変換fはすべて

$f(\vec{x} ) = A\vec{x} +\vec{b}$

の形をしています。

この様な行列の掛け算または
ベクトルの足し算で表される写像を

アフィン写像と呼びます。

極座標変換

縦の長さ２πの長方形領域

$\{ (r, \theta) \, | \, 0<r<a, \quad 0<\theta<2\pi \}$

は極座標変換

$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \cos \theta \\ r \sin \theta \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

により円に近い図形

$\{ (x, y) \, | \, x^2 +y^2 <a^2\} \setminus \{ (x, 0) \, | \, 0\leq x \leq a \}$

に写せます。

多重積分の変数変換に応用

この座標変換は円上での積分に便利です。

被積分関数を有界とすれば
境界上での積分値は０なので、

円に近い図形上の積分と
円上の積分は等しくなります。

ヤコビアンを通じて
長方形上の積分へと書き換えられ、

多重積分が容易になります。

まとめ

座標変換とは
図形についての問題を簡単にするテクニックです。

xy-座標において歪な形の図形も、

適切な単射な写像fを定めて

uv-座標で見直すと綺麗な形にできます。

その際(x, y)と(u, v)各点が
結び付いている必要があり、

紐づけを担うのがfと逆写像f^-1です。

応用例としては
多重積分の変数変換で、

球上の積分には極座標変換

線形写像もヤコビアンと関連して
定理の証明に利用されます。

参考サイト

• Bruce Ikenaga Mathematics「Coordinate Transformations」