多次元ヤコビ行列式（ヤコビアン）
の定義と重積分の変数変換の定理です。
1~3次元の具体例を添えて、
イメージを掴める記事を目指しました。
ヤコビ行列式の定義
ΩとDをRnの有界な領域とする。
Ωの元(u1, ..., un)を、
Dの元(x1, ..., xn)に写す全単射な写像Φ
\( \Phi : \quad \;\; \Omega \quad\quad\; \to \quad\quad D \)
\( \quad (u_1, \cdots , u_n) \, \mapsto (x_1, \cdots , x_n ) \)
がΩ上で定義されたC1級（１回微分可能な）関数Xi
\( x_i = X_i (u_1, \cdots , u_n) \quad i \in \{1, 2, \cdots , n \} \)
により与えられている時、
ヤコビ行列式J(u1, ..., un)は次で定義される。
n次元ヤコビ行列式
$$ J(u_1, \cdots , u_n ) := det \begin{bmatrix} \frac{\partial X_1 }{\partial u_1 } & \cdots & \frac{\partial X_1 }{\partial u_n } \\ \frac{\partial X_2 }{\partial u_1 } & \cdots & \frac{\partial X_2 }{\partial u_n } \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial X_n }{\partial u_1 } & \cdots & \frac{\partial X_n }{\partial u_n } \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$
ヤコビ行列式には変数を明示する
$$ J(u_1, \cdots , u_n ) = \frac{\partial (x_1, \cdots , x_n ) }{\partial (u_1, \cdots , u_n ) } $$
という書き方もあります。
多重積分の変数変換
定義が済んだので、
ヤコビ行列式を応用した
実用上とても大事な
多重積分の変数変換の定理
を２段階に分けて述べたいと思います。
定理の前半
任意のΩの元(u1, ..., un)に対して
\( J(u_1, \cdots , u_n ) \neq 0 \)
を仮定する。
n次元体積確定な集合Ω1が
\( \overline{ \Omega}_1 \subset \Omega \)
を満たすなら、
D1=Φ(Ω1)もn次元体積確定。
その体積|D1|は
変換後の体積の公式
$$ |D_1| = \idotsint _{\Omega_1} |J (u_1 , \cdots , u_n) | \, du_1 \cdots du_n \hspace{20cm}$$
により求まる。
体積（面積）確定とは？
大雑把に言うと積分で体積が定まる事です。
数学の世界には積分で上手く体積が計算されない
奇妙な集合もあるので、それらを取り除きます。
予備知識
１次元の体積は長さ、２次元の体積は面積です。
定理の後半
またD1上のn重積分可能な関数f(x1, ..., xn)に対し、
\( F(u_1 , \cdots , u_n ) := f(X_1(u_1 , \cdots , u_n ), \cdots , X_n (u_1 , \cdots , u_n ) ) \)
はΩ1上でn重積分可能であり
多重積分の変数変換
$$\,\quad \idotsint _{D_1} f(x_1 , \cdots , x_n) \, dx_1 \cdots dx_n \hspace{20cm}$$
$$ = \idotsint _{\Omega_1} F(u_1 , \cdots , u_n) |J(u_1 , \cdots , u_n ) | \, du_1 \cdots du_n \hspace{20cm}$$
が成り立つ。
変数変換の具体例
１次元
１次元の時、定理は高校数学で習う置換積分法に対応します。
定積分の置換積分法
微分可能な関数x=g(t)が
$$\left\{ \begin{eqnarray} a=g(\alpha) \\ b=g(\beta) \end{eqnarray}\right. \hspace{20cm}$$
を満たすなら、
$$ \int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(g(t) ) g'(t) dt \hspace{20cm}$$
この場合のヤコビ行列式は
$$ J(t) =det \begin{bmatrix} \frac{\partial g(t)}{\partial t} \end{bmatrix} = g'(t) \hspace{20cm}$$
よりg'(t)なので
\( g'(t) \neq 0 \)
を仮定して
$$ \int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(g(t) ) |g'(t)| dt \hspace{20cm}$$
となります。
g'(t)に絶対値が付いたり、
定理を使うための条件が
複雑なため置換積分法で十分です。
ポイント
高校数学の定理の方が優れている事もあります。
２次元
半径aの開円板
\( D_a := \{ (x,y) \, |\, x^2 + y^2 < a^2 \} \)
の上で連続（ゆえに積分可能）な関数f(x,y)
の二重積分は極座標変換
\( \Phi : (0, \infty) \times [0, 2 \pi) \to \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0) \} \)
\( \quad \quad \quad \quad\! (r, \theta) \quad\quad\, \mapsto \quad\quad\! (x,y) \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
を用いて
$$ \iint_{D_a} f(x,y) dx dy= \int_0^{2\pi} \int_0^a f(r \cos \theta, r\sin \theta) r \, dr d\theta \hspace{20cm}$$
となります。
証明
定理の仮定を満たすよう工夫します。
b>aをとり
\( \Omega := (0, b) \times (0, 2 \pi) \)
とする。
Φの定義域をΩに制限した写像
\( \Phi' : \;\;\,\Omega \;\;\; \to \Phi(\Omega) \)
\( \quad\quad (r, \theta) \mapsto (x,y) \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
は有界な領域ΩとD=Φ(Ω)の間の全単射。
\( \Omega_1 := (\epsilon , a) \times (\epsilon , 2\pi -\epsilon) \)
とおけば
\( \overline{\Omega}_1 \subset (0, b) \times (0, 2 \pi) \)
ヤコビ行列式は
$$ J(r,\theta ) = det \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial r } r\cos \theta & \frac{\partial }{\partial \theta }r\cos \theta \\ \frac{\partial }{\partial r }r\sin \theta & \frac{\partial }{\partial \theta }r\sin \theta \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$
$$\quad\quad\quad= det \begin{bmatrix} \cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$
\(\quad\quad\quad= r(\cos^2 \theta +\sin^2 \theta ) \)
\(\quad\quad\quad= r \)
の様に計算され、(0, b)×(0, 2π)において
\( r \neq 0 \)
なので定理の仮定が満たされた。
D1=Φ'(Ω1)について
$$ \iint_{D_1} f(x,y) dx dy= \int_{0+\epsilon}^{2\pi -\epsilon} \int_\epsilon^a f(r \cos \theta, r\sin \theta) r \, dr d\theta \hspace{20cm}$$
であり両辺のε→0の極限をとれば
$$ \iint_{D_a} f(x,y) dx dy= \int_0^{2\pi} \int_0^a f(r \cos \theta, r\sin \theta) r \, dr d\theta \quad \square \hspace{20cm}$$
３次元
半径aの開球
\( B_a := \{ (x,y,z) \, |\, x^2 + y^2 +z^2 < a^2 \} \)
の上で連続（ゆえに積分可能）な関数f(x,y,z)
の三重積分は極座標変換
\( \Phi : (0, \infty) \times (0, \pi) \times [0, 2\pi) \to \mathbb{R}^3 \setminus \{(0,0,z) \, | \, z \in \mathbb{R} \} \)
\( \quad \quad \quad \quad\quad\, (r, \theta, \phi) \quad\quad\quad\;\, \mapsto \quad \quad\quad\! (x,y,z) \)
$$\left\{ \begin{eqnarray} z &=& r \cos \theta \\ x &=& r \sin \theta \cos \phi \\ y &=& r \sin \theta \sin \phi \end{eqnarray} \right. \hspace{20cm}$$
を用いて
\( F(r, \theta, \phi) :=f(r \sin \theta \cos \phi, r\sin \theta \sin \phi, r \cos \theta) \)
とおいた時
$$\begin{eqnarray} \iiint_{B_a}& f(x,y,z) dxdy dz& \\ =& \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^a& F(r, \theta, \phi) r^2 \sin \theta \, dr d\theta d \phi \end{eqnarray}\hspace{20cm}$$
になります。
略証
２次元の場合と同様、
定理の仮定を満たす条件を整えて最後に極限をとる。
ヤコビ行列式J(r, θ, Φ)は
$$\quad det \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial r } r \cos \theta & \frac{\partial }{\partial \theta } r \cos \theta & \frac{\partial }{\partial \phi } r \cos \theta \\ \frac{\partial }{\partial r } r\sin \theta \cos \phi & \frac{\partial }{\partial \theta }r\sin \theta \cos \phi & \frac{\partial }{\partial \phi } r\sin \theta \cos \phi \\ \frac{\partial }{\partial r } r\sin \theta \sin \phi & \frac{\partial }{\partial \theta }r\sin \theta \sin \phi & \frac{\partial }{\partial \phi } r\sin \theta \sin \phi \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$
$$= det \begin{bmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$
であり、余因子展開（またはサラスの方法）より計算される。
$$= det \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$
$$\quad\quad - det \begin{bmatrix} -r \sin \theta & 0 & 0 \\ r\cos \theta \cos \phi & \sin \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ r\cos \theta \sin \phi &\sin \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$
\(= \cos \theta(r^2 \sin \theta \cos \theta \cos^2 \phi + r^2 \sin \theta \cos \theta \sin^2 \phi ) \)
\(\quad \quad+ r \sin \theta (r \sin^2 \theta \cos^2 \phi +r \sin^2 \theta \sin^2 \phi ) \)
\(= r^2 \sin \theta \cos^2 \theta +r^2 \sin^3 \theta \)
\( = r^2 \sin \theta \)
これは(0, ∞)×(0, π)×[0, 2π)において常に正。\(\square\)