【線形代数】
行列式の絶対値＝n次元平行体の体積、の証明

2023年5月9日

行列式の大きさは図形的には、

行列を構成するn個の独立なベクトルで
張られる平行体の体積を意味します。

これは

２次元では平行四辺形
３次元では平行六面体

の体積を計算するための道具となり

n次元については、

多重積分の座標変換の際
ヤコビアンが利用される理由でもあります。

この記事では、線形代数の知識を用いて
行列式の絶対値がn次元平行体の体積である事を証明します。

行列の基本変形、シュミットの正規直交化など

多次元の体積

始めに（ユークリッド距離の入った）
実空間Rⁿのk個の一次独立なベクトル

$ \{ \vec{x}_1 , \cdots , \vec{x}_k \} $

で張られるk次元の平行体

$ P = \{ t_1 \vec{x}_1 + \cdots +t_k \vec{x}_k \, | \, 0 \leq t_i \leq 1 , \; i = 1, \cdots , k \} $

の体積vol(P)を定義します。

１次元

１次元の時は

$ P = \{ t_1 \vec{x}_1 \, | \, 0 \leq t_1 \leq 1 \} $

であり、体積は長さを意味するので

１次元の体積

$ vol(P) := |\vec{x}_1| $

の様に定義されます。

k次元

k次元については補題が必要です。

補題

ベクトルx₁は二つのベクトルB、C

$ \vec{x}_1 = \vec{B} + \vec{C} $

に分解される。

ここでBとCは

$ \vec{B} \perp \vec{x}_i \quad (i = 2, \cdots , k) $

$ \vec{C} \in \left<\vec{x}_2, \cdots , \vec{x}_k \right> $

を満たす。

証明

一次独立なk-1個のベクトル

$ \{ \vec{x}_2, \cdots , \vec{x}_k \} $

にシュミットの正規直交化を施して

$ \{ \vec{a}_2, \cdots , \vec{a}_{k} \} $

を得る。

ポイント

$ \left<\vec{x}_2, \cdots , \vec{x}_k \right> = \left<\vec{a}_2, \cdots , \vec{a}_k \right> $

$$ \vec{B} := \vec{x}_1 - \sum_{i=2}^k (\vec{x}_1 \cdot \vec{a}_i)\, \vec{a}_i \hspace{20cm}$$

によりベクトルBを定めれば

$ \vec{B} \perp \vec{a}_i \quad (i = 2, \cdots , k) $

なのでx_iについても

$ \vec{B} \perp \vec{x}_i \quad (i = 2, \cdots , k) $

また、

$$ \vec{C} := \sum_{i=2}^k (\vec{x}_1 \cdot \vec{a}_i)\, \vec{a}_i \hspace{20cm}$$

によりベクトルCを定めればCは
{a₂, ..., a_k}で生成されるベクトル空間の元。

$ \vec{C} \in \left<\vec{a}_2, \cdots , \vec{a}_k \right> $

であり

$ \vec{C} \in \left<\vec{x}_2, \cdots , \vec{x}_k \right> $

ベクトルBとCの和は

$ \vec{x}_1 = \vec{B} + \vec{C} \quad \square$

体積の定義

$ P = \{ t_1 \vec{x}_1 + \cdots +t_k \vec{x}_k \, | \, 0 \leq t_i \leq 1 , \; i = 1, \cdots , k \} $

の体積を補題とk-1次元の平行体

$ P' = \{ t_2 \vec{x}_2 + \cdots +t_k \vec{x}_k \, | \, 0 \leq t_i \leq 1 , \; i = 2, \cdots , k \} $

の体積で定義します。

k次元の体積

$ vol(P) := |\vec{B}| \times vol(P') $

次元を落として行くと
最終的には1次元にたどり着くので、

帰納的にk次元まで定義できた事になります。

定義の意味

３つの一次独立なベクトルで張られる平行体を例に、
定義の意味を解説したいと思います。

まず、次元を落として行くとx₃のみが残るので

この時点での体積は長さの|x₃|です。

次にx₂を、x₃と平行なベクトルCと直交するベクトルBに分解して

先程の体積|x₃|に|B|を掛けます。

平行四辺形の面積を底辺×高さで求める事に対応します。

続いてx₁を、x₂とx₃で張られる平面上の
ベクトルCと直交するベクトルBに分解して

先程の体積（面積）に|B|を掛けます。

平行六面体の体積を底面積×高さで求める事に対応します。

４次元以降の体積を求めたい時は

同様に、それまでの、どのベクトルとも直交する
ベクトルBの大きさを体積に掛ける操作を繰り返します。

行列式の幾何学的意味

体積の定義が済んだので定理を証明します。

定理

実空間Rⁿのk個の一次独立なベクトル

$ \{ \vec{x}_1 , \cdots , \vec{x}_k \} $

で張られるk次元の平行体

$ P = \{ t_1 \vec{x}_1 + \cdots +t_k \vec{x}_k \, | \, 0 \leq t_i \leq 1 , \; i = 1, \cdots , k \} $

の体積vol(P)は、k×n行列A

$$ A:= \begin{pmatrix}\vec{x}_1 \\ \vec{x}_2 \\ \vdots \\ \vec{x}_k \end{pmatrix} \hspace{20cm}$$

とその転置A^Tを用いて

$ vol(P)^2 = det(A A^\top) $

の様に書かれる。

これは特にk=nの時

$ vol(P) = |det(A)| $

である。

証明

帰納法で示す。

k=1の時は

$ det(A A^\top) = det(\vec{x}_1 \vec{x}_1^\top ) = |\vec{x}_1|^2 = vol(P)^2 $

なので成立。

k-1次元の平行体に対して定理を認め、
k次元について考える。

補題を用いて

$ \vec{x}_1 = \vec{B} +\vec{C} $

と分解しAの一行目をBに換えた行列を

$$ \tilde{A}:= \begin{pmatrix}\vec{B} \\ \vec{x}_2 \\ \vdots \\ \vec{x}_k \end{pmatrix} \hspace{20cm}$$

と書く事にする。

$ \vec{C} \in \left<\vec{x}_2, \cdots , \vec{x}_k \right> $

より適当なα₂、…、α_kをとり

$ \vec{C} = \alpha_2 \vec{x}_2 +\cdots +\alpha_k \vec{x}_k $

ここで一行目にm行目のα_m倍を加える基本行列E_mを用意する。

例えばE₂、E_kは

$$ E_2 := \begin{pmatrix} 1 & \alpha_2 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \hspace{20cm}$$

$$ E_k := \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \alpha_k \\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \hspace{20cm}$$

である。

左側から、これらの行列を掛ければ

$ E_2 \cdots E_k \tilde{A}=A $

また両辺の転置をとり

$ A^\top = \tilde{A}^\top E_k^\top \cdots E_2^\top $

定理の右辺は

$ det(A A^\top) =det( E_2 \cdots E_k \tilde{A} \tilde{A}^\top E_k^\top \cdots E_2^\top )$

$\quad\quad\quad\quad\;\; =det( E_2 \cdots E_k) \cdot det( \tilde{A} \tilde{A}^\top) \cdot det( E_k^\top \cdots E_2^\top )$

$\quad\quad\quad\quad\;\;= 1 \cdot det( \tilde{A} \tilde{A}^\top) \cdot 1 $

$ \quad\quad\quad\quad\;\;= det( \tilde{A} \tilde{A}^\top) $

の様に書き換えられる。

次にAから一行目を取り除いた行列を

$$ D:= \begin{pmatrix} \vec{x}_2 \\ \vdots \\ \vec{x}_k \end{pmatrix} \hspace{20cm}$$

と書いて計算を続ける。

$$ \tilde{A} \tilde{A}^\top = \begin{pmatrix} \vec{B} \\ D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{B}^\top & D^\top \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{B}\vec{B}^\top & \vec{B}D^\top \\ D\vec{B}^\top & DD^\top \end{pmatrix} \hspace{20cm}$$

ベクトルBは

$ \vec{B} \perp \vec{x}_i \quad (i = 2, \cdots , k) $

を満たすので

$$= \begin{pmatrix} \vec{B}\vec{B}^\top & 0 \\ 0& DD^\top \end{pmatrix} \hspace{20cm} $$

行列式は

$ det(\tilde{A} \tilde{A}^\top ) = det( \vec{B}\vec{B}^\top )\cdot det( DD^\top ) $

となる。

帰納法の仮定により

$ = |\vec{B}|^2 \cdot vol(P')^2 = vol(P)^2 $

以上で

$ vol(P)^2 = det(A A^\top) $

が示された。

特にk=nの時、Aは正方行列なので

$ vol(P)^2 = det(A) \cdot det( A^\top) $

転置の行列式の値は等しく

$ = \{det(A)\}^2 $

体積は定義より０以上で

$ vol(P) = |det(A)| $

が求まる。$\square$

掛ける順の任意性（補足）

行列式の値は行を入れ換えても
符号が変わるだけです。

定義においてはx_kを起点に、

順次x_k-1、x_k-2、…、x₁まで掛けて
体積を定めましたが

定理より実は、どのベクトルを起点に
どの様な順で掛けても同じ体積になります。

直方体で言うと

縦×横×高さ
高さ×横×縦

いずれも体積が求まる事に対応します。

参考文献

論文

The Determinant: a Means to Calculate Volume

線形代数

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