高校数学の単語帳１巻

【数学Ⅰ】「方程式と不等式」「２次関数」の
単語帳

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不等式

範囲の書き方

例えば-1<x≦2を数直線上に書くと次の様になる。

  • 端点が範囲に含まれない時は、
    白丸で表し斜めに線を伸ばして範囲を示す。
  • 端点が範囲に含まれる時は、
    黒丸で表し垂直に線を伸ばして範囲を示す。
  • 範囲は斜線で塗りつぶす。

２次方程式

移項して整理すると次の形、
ax2+bx+c=0（a、b、cは定数でa≠0）

になる方程式を
xについての”２次方程式”という。

これの実数の解を”実数解”、虚数の解を”虚数解”という。
（複素数の正確な定義は後述）

解の公式

２次方程式ax2+bx+c
（a、b、cは実数でa≠0）は次の様な解をもつ。

    \[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} \hspace{20cm}\]

証明

    \[\quad ax^2 + bx + c = 0 \hspace{20cm}\]

    \[\Leftrightarrow x^2 + \frac{b}{a} x = -\frac{c}{a} \hspace{20cm}\]

    \[\Leftrightarrow x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 = \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 -\frac{c}{a} \hspace{20cm}\]

    \[\Leftrightarrow \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2} \hspace{20cm}\]

    \[\Leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2 -4ac}{4a^2} } \hspace{20cm}\]

    \[\Leftrightarrow x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{ b^2 -4ac} }{2a} \hspace{20cm}\]

よって解の公式が得られる。\square

特にxの係数が偶数の場合
ax2+2b'x+c=0と書いて次の様な解をもつ。

    \[x = \frac{ -b' \pm \sqrt{ b'^2 - ac} }{a} \hspace{20cm}\]

重解

解の公式においてb2-4ac=0の時
x=-b/2aとなり、２次方程式の解はこれ一つである。

この場合、
二つの解が重なったものと考えて”重解”と呼ぶ。

黄金比

長方形ABCDの短辺は１、長辺はxとする。

一辺の長さ１の正方形を切り取って、

長方形ECDFを作ったら
元の長方形ABCDと相似になる様なxを求めたい。

すなわち

1:x=(x-1):1

が成り立っている。

これは２次方程式、

x(x-1)=1^2

を解けば求まり

    \[x = \frac{1 +\sqrt5}{2} \hspace{20cm}\]

である。

長方形ABCDの長さの比

    \[1 : \frac{1 +\sqrt5}{2} \hspace{20cm}\]

は”黄金比”と呼ばれている。

関数

xとyを変数とする。

xの値を定めた時、対応して
yの値がただ一つ定まるならば

yはxの”関数”である、という。

これを、
文字fなどを用い”y=f(x)”と表記し

またはyを省略して単に関数”f(x)”という。

関数の値

xをaと定めた時のyの値を”f(a)”と書き、
関数f(x)のx=aにおける”値”という。

座標平面

平面上に原点Oと、Oで垂直に交わる
x軸とy軸を定めたものを”座標平面”という。

グラフ

関数y=f(x)が与えられた時

関係y=f(x)を満たす点全体で作られる図形を
関数の”グラフ”といい、

y=f(x)を”グラフの方程式”という。

２次関数

a、b、cは定数で、a≠0とした時
関数y=ax2+bx+cをxの”２次関数”という。

放物線

２次関数のグラフは”放物線”とも呼ばれる。

平行移動

座標平面上で図形の各点を、

一定の方向に、
一定の距離だけ動かすことを”平行移動”という。

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