n次元ヤコビ行列式と多重積分の変数変換
【1~3次元の具体例あり】

多次元ヤコビ行列式（ヤコビアン）
の定義と重積分の変数変換の定理です。

1~3次元の具体例を添えて、
イメージを掴める記事を目指しました。

ヤコビ行列式の定義

ΩとDをRⁿの有界な領域とする。

Ωの元(u₁, ..., u_n)を、
Dの元(x₁, ..., x_n)に写す全単射な写像Φ

がΩ上で定義されたC¹級（１回微分可能な）関数X_i

$x_i = X_i (u_1, \cdots , u_n) \quad i \in \{1, 2, \cdots , n \}$

により与えられている時、

ヤコビ行列式J(u₁, ..., u_n)は次で定義される。

ヤコビ行列式には変数を明示する

$$J(u_1, \cdots , u_n ) = \frac{\partial (x_1, \cdots , x_n ) }{\partial (u_1, \cdots , u_n ) }$$

という書き方もあります。

多重積分の変数変換

定義が済んだので、

ヤコビ行列式を応用した
実用上とても大事な

多重積分の変数変換の定理

を２段階に分けて述べたいと思います。

定理の前半

任意のΩの元(u₁, ..., u_n)に対して

$J(u_1, \cdots , u_n ) \neq 0$

を仮定する。

n次元体積確定な集合Ω₁が

$\overline{ \Omega}_1 \subset \Omega$

を満たすなら、

D₁=Φ(Ω₁)もn次元体積確定。

その体積|D₁|は

により求まる。

体積（面積）確定とは？

大雑把に言うと積分で体積が定まる事です。

数学の世界には積分で上手く体積が計算されない
奇妙な集合もあるので、それらを取り除きます。

定理の後半

またD₁上のn重積分可能な関数f(x₁, ..., x_n)に対し、

$F(u_1 , \cdots , u_n ) := f(X_1(u_1 , \cdots , u_n ), \cdots , X_n (u_1 , \cdots , u_n ) )$

はΩ₁上でn重積分可能であり

が成り立つ。

変数変換の具体例

１次元

１次元の時、定理は高校数学で習う置換積分法に対応します。

この場合のヤコビ行列式は

$$J(t) =det \begin{bmatrix} \frac{\partial g(t)}{\partial t} \end{bmatrix} = g'(t) \hspace{20cm}$$

よりg'(t)なので

$g'(t) \neq 0$

を仮定して

$$\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(g(t) ) |g'(t)| dt \hspace{20cm}$$

となります。

g'(t)に絶対値が付いたり、

定理を使うための条件が
複雑なため置換積分法で十分です。

２次元

半径aの開円板

$D_a := \{ (x,y) \, |\, x^2 + y^2 < a^2 \}$

の上で連続（ゆえに積分可能）な関数f(x,y)
の二重積分は極座標変換

を用いて

$$\iint_{D_a} f(x,y) dx dy= \int_0^{2\pi} \int_0^a f(r \cos \theta, r\sin \theta) r \, dr d\theta \hspace{20cm}$$

となります。

証明

定理の仮定を満たすよう工夫します。

b>aをとり

$\Omega := (0, b) \times (0, 2 \pi)$

とする。

Φの定義域をΩに制限した写像

は有界な領域ΩとD=Φ(Ω)の間の全単射。

$\Omega_1 := (\epsilon , a) \times (\epsilon , 2\pi -\epsilon)$

とおけば

$\overline{\Omega}_1 \subset (0, b) \times (0, 2 \pi)$

ヤコビ行列式は

$$J(r,\theta ) = det \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial r } r\cos \theta & \frac{\partial }{\partial \theta }r\cos \theta \\ \frac{\partial }{\partial r }r\sin \theta & \frac{\partial }{\partial \theta }r\sin \theta \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

$$\quad\quad\quad= det \begin{bmatrix} \cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

$\quad\quad\quad= r(\cos^2 \theta +\sin^2 \theta )$

$\quad\quad\quad= r$

の様に計算され、(0, b)×(0, 2π)において

$r \neq 0$

なので定理の仮定が満たされた。

D₁=Φ'(Ω₁)について

$$\iint_{D_1} f(x,y) dx dy= \int_{0+\epsilon}^{2\pi -\epsilon} \int_\epsilon^a f(r \cos \theta, r\sin \theta) r \, dr d\theta \hspace{20cm}$$

であり両辺のε→0の極限をとれば

$$\iint_{D_a} f(x,y) dx dy= \int_0^{2\pi} \int_0^a f(r \cos \theta, r\sin \theta) r \, dr d\theta \quad \square \hspace{20cm}$$

３次元

半径aの開球

$B_a := \{ (x,y,z) \, |\, x^2 + y^2 +z^2 < a^2 \}$

の上で連続（ゆえに積分可能）な関数f(x,y,z)
の三重積分は極座標変換

を用いて

$F(r, \theta, \phi) :=f(r \sin \theta \cos \phi, r\sin \theta \sin \phi, r \cos \theta)$

とおいた時

$$\begin{eqnarray} \iiint_{B_a}& f(x,y,z) dxdy dz& \\ =& \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^a& F(r, \theta, \phi) r^2 \sin \theta \, dr d\theta d \phi \end{eqnarray}\hspace{20cm}$$

になります。

略証

２次元の場合と同様、
定理の仮定を満たす条件を整えて最後に極限をとる。

ヤコビ行列式J(r, θ, Φ)は

$$\quad det \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial r } r \cos \theta & \frac{\partial }{\partial \theta } r \cos \theta & \frac{\partial }{\partial \phi } r \cos \theta \\ \frac{\partial }{\partial r } r\sin \theta \cos \phi & \frac{\partial }{\partial \theta }r\sin \theta \cos \phi & \frac{\partial }{\partial \phi } r\sin \theta \cos \phi \\ \frac{\partial }{\partial r } r\sin \theta \sin \phi & \frac{\partial }{\partial \theta }r\sin \theta \sin \phi & \frac{\partial }{\partial \phi } r\sin \theta \sin \phi \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

$$= det \begin{bmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

であり、余因子展開（またはサラスの方法）より計算される。

$$= det \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & r\cos \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & r\cos \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

$$\quad\quad - det \begin{bmatrix} -r \sin \theta & 0 & 0 \\ r\cos \theta \cos \phi & \sin \theta \cos \phi & -r\sin \theta \sin \phi \\ r\cos \theta \sin \phi &\sin \theta \sin \phi & r\sin \theta \cos \phi \end{bmatrix} \hspace{20cm}$$

$= \cos \theta(r^2 \sin \theta \cos \theta \cos^2 \phi + r^2 \sin \theta \cos \theta \sin^2 \phi )$

$\quad \quad+ r \sin \theta (r \sin^2 \theta \cos^2 \phi +r \sin^2 \theta \sin^2 \phi )$

$= r^2 \sin \theta \cos^2 \theta +r^2 \sin^3 \theta$

$= r^2 \sin \theta$

これは(0, ∞)×(0, π)×[0, 2π)において常に正。$\square$

参考文献