【底が負の指数関数】
指数法則と引き換えに作れます

指数関数には条件a>0が付けられています。

$y = (-1)^x$

の様な底が負の指数関数をなぜ除くかと言うと

$(-1)^{1/2} = i$

つまり負の数の1/n乗は複素数になってしまい
実数だけでは関数を定義できないからです。

そこで複素関数論の教科書を開くと
複素数の指数関数

という物があり、こちらは底が負でも許されます。

しかし実数の時に成り立っていた
指数法則が半分失われてしまう事になります。

この記事では、

複素数の力を借りると底が負でも
累乗の定義を満たす指数関数が作れる事を示した後

指数法則がどこで破綻するかまで説明したいと思います。

複素関数論の基礎を修めた大学2~3年生を想定して書きます。

複素数の指数関数

複素数を仲間に入れると、
底が負の指数関数を考える事ができます。

０でない複素数aについて指数関数を次で定義します。

ここでArg(z)はzの偏角を表す関数で値の範囲を

$0 \leq \mathrm{Arg} \, z < 2\pi \quad \left( z \in \mathbb{C} - \{ 0 \} \right)$

と定めます。

a=-1とすれば、

$$(-1)^z = e^{z\{\log |-1| +i \mathrm{Arg} \, (-1)\} } \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \quad \! = e^{ z(0 +i\pi ) } \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \quad \!=e^{i \pi z} \hspace{20cm}$$

なので

負の数の指数関数が求まりました。

こちらは

$$(-1)^{1/2} = e^{i \pi/2} = i \hspace{20cm}$$

の様に1/n乗も正しく計算されます。

定義の照らし合わせ

複素数には整数乗までなら既に
実数と同様の累乗が定義されています。

始めに、この新しい指数関数が
それらの定義と一致する事を確認します。

自然数乗

$$a^n = e^{n(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \hspace{20cm}$$

e^zは一番目の指数法則

$e^z e^w = e^{z+w}$

を満たすので（証明はコーシー積より）

$$= e^{(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \times e^{(n-1)(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \hspace{20cm}$$

繰り返し用いて、

$$= \underbrace{ e^{(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \times e^{(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \times \cdots \times e^{(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} }_{n個} \hspace{20cm}$$

$= \underbrace{a \times a \times \cdots \times a }_{n個}$

０乗

$$a^0 = e^{0 \times (\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} = e^0 = 1 \hspace{20cm}$$

マイナス乗

aが正の実数でない時（正の実数の時は明らか）

$-\mathrm{Arg} \, a +2\pi = \mathrm{Arg} \, (1/a)$

なので

$$a^{-n} = e^{-n(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \! = e^{n(-\log |a| -i \mathrm{Arg} \, a)} \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \! = e^{n\{\log |a|^{-1} +i \mathrm{Arg} \, (1/a) \, -i2\pi \}} \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \! = e^{n\{\log |1/a| +i \mathrm{Arg} \, (1/a) \}} \times e^{ -i2\pi n} \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \! = \left( \frac{1}{a} \right)^n \times 1\hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \! = \underbrace{\frac{1}{a} \times \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a} }_{n個} \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \! = \frac{1}{a^n} \hspace{20cm}$$

1/n乗

複素数のおかげで
負の数を含めて1/n乗を定義できます。

実際、

$$(a^{1/n} )^n =\underbrace{ e^{(1/n)(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \times \cdots \times e^{(1/n)(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} }_{n個} \hspace{20cm}$$

e^zの指数法則を用いて

$$= e^{(2/n)(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \times \underbrace{ e^{(1/n)(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \times \cdots \times e^{(1/n)(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} }_{n-2個} \hspace{20cm}$$

$$= \cdots = e^{(n/n)(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} = a \hspace{20cm}$$

よりa^1/nはaのn乗根になっています。

指数法則は満たされる？

1/n乗まで指数を拡張できましたが
問題は指数法則です。

結論から言うと、
３つの指数法則の内1.5個が満たされます。

$a^z a^w = a^{z +w}$

一つ目は任意の複素数z、wについて成立します。

証明

$$a^z a^w = e^{z(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \times e^{w(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \,\, = e^{(z+w)(\log |a| +i \mathrm{Arg} \, a)} \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \,\, = a^{z+w} \quad \square\hspace{20cm}$$

$(a^z)^w = a^{zw}$

二つ目は0.5個すなわち、
括弧の中身が1/n乗の時は成立します。

証明

$$a^{1/n} = e^{(1/n)(\log|a| +i \mathrm{Arg} \, a ) } \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad = e^{(1/n)\log|a|} e^{i(1/n) \mathrm{Arg} \, a } \hspace{20cm}$$

より

$$|a^{1/n}| = e^{(1/n)\log|a|}, \quad \mathrm{Arg} \, a^{1/n} = (1/n) \mathrm{Arg} \, a$$

$$(a^{1/n})^w = e^{w(\log|a^{1/n}| +i \mathrm{Arg} \, a^{1/n} ) } \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \quad \,\, = e^{w\{ (1/n)\log|a| +i(1/n) \mathrm{Arg} \, a \} } \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \quad \,\, = e^{w/n( \log|a| +i \mathrm{Arg} \, a ) } \hspace{20cm}$$

$$\quad \quad \quad \,\, =a^{w/n} = a^{(1/n) \times w} \quad \square \hspace{20cm}$$

反例

一方、括弧の外が1/n乗の時は成立しません。

$$\{ (-1)^2 \}^{1/2} = 1^{1/2} = 1 \hspace{20cm}$$

に対して

$$(-1)^{2 \times (1/2)} = (-1)^1 = -1 \hspace{20cm}$$

なので

$$(a^z)^{1/n} \neq a^{z \times (1/n)} \quad \square \hspace{20cm}$$

$(ab)^z = a^z b^z$

三つ目も成立しません。

反例

$$\{ (-1)\times (-1) \}^{1/2} = 1^{1/2} = 1 \hspace{20cm}$$

に対して

$$(-1)^{1/2} \times (-1)^{1/2} = i \times i = -1 \hspace{20cm}$$

なので

$$(ab)^{1/n} \neq a^{1/n} b^{1/n} \quad \square \hspace{20cm}$$

まとめ

実数に限ると
負の数の累乗は整数乗までしか定義できないので、

1/n乗を求めて複素数の指数関数を持ち込みました。

この関数は整数乗までの累乗の定義と対応付きつつ
負の数の1/n乗も考える事ができます。

しかし代償に指数法則が失われてしまう
（1.5個は満たされる）という物でした。

やはり綺麗な指数関数を作る為には条件

$a>0$

が必要。

強引に底が負の指数関数を作ると、
何かしら無理が生じてしまいます。

参考文献

野本隆宏様のサイト

複素数の指数関数・対数関数・べき関数

複素関数論