
指数関数には条件a>0が付けられています。
y=(−1)x
の様な底が負の指数関数をなぜ除くかと言うと
(−1)1/2=i
つまり負の数の1/n乗は複素数になってしまい
実数だけでは関数を定義できないからです。
そこで複素関数論の教科書を開くと
複素数の指数関数
という物があり、こちらは底が負でも許されます。
しかし実数の時に成り立っていた
指数法則が半分失われてしまう事になります。
この記事では、
複素数の力を借りると底が負でも
累乗の定義を満たす指数関数が作れる事を示した後
指数法則がどこで破綻するかまで説明したいと思います。
複素関数論の基礎を修めた大学2~3年生を想定して書きます。
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複素数の指数関数
複素数を仲間に入れると、
底が負の指数関数を考える事ができます。
0でない複素数aについて指数関数を次で定義します。
複素数の指数関数
az:=ez(log|a|+iArga)(z∈C)
ここでArg(z)はzの偏角を表す関数で値の範囲を
0≤Argz<2π(z∈C−{0})
と定めます。
a=-1とすれば、
(−1)z=ez{log|−1|+iArg(−1)}
=ez(0+iπ)
=eiπz
なので
負の数の指数関数が求まりました。
こちらは
(−1)1/2=eiπ/2=i
の様に1/n乗も正しく計算されます。
定義の照らし合わせ
複素数には整数乗までなら既に
実数と同様の累乗が定義されています。
始めに、この新しい指数関数が
それらの定義と一致する事を確認します。
自然数乗
an=en(log|a|+iArga)
ezは一番目の指数法則
を満たすので(証明はコーシー積より)
=e(log|a|+iArga)×e(n−1)(log|a|+iArga)
繰り返し用いて、
=e(log|a|+iArga)×e(log|a|+iArga)×⋯×e(log|a|+iArga)⏟n個
=a×a×⋯×a⏟n個
0乗
a0=e0×(log|a|+iArga)=e0=1
マイナス乗
aが正の実数でない時(正の実数の時は明らか)
−Arga+2π=Arg(1/a)
なので
a−n=e−n(log|a|+iArga)
=en(−log|a|−iArga)
=en{log|a|−1+iArg(1/a)−i2π}
=en{log|1/a|+iArg(1/a)}×e−i2πn
=(1a)n×1
=1a×1a×⋯×1a⏟n個
=1an
1/n乗
複素数のおかげで
負の数を含めて1/n乗を定義できます。
実際、
(a1/n)n=e(1/n)(log|a|+iArga)×⋯×e(1/n)(log|a|+iArga)⏟n個
ezの指数法則を用いて
=e(2/n)(log|a|+iArga)×e(1/n)(log|a|+iArga)×⋯×e(1/n)(log|a|+iArga)⏟n−2個
=⋯=e(n/n)(log|a|+iArga)=a
よりa1/nはaのn乗根になっています。
指数法則は満たされる?
1/n乗まで指数を拡張できましたが
問題は指数法則です。
結論から言うと、
3つの指数法則の内1.5個が満たされます。
azaw=az+w
一つ目は任意の複素数z、wについて成立します。
証明
azaw=ez(log|a|+iArga)×ew(log|a|+iArga)
=e(z+w)(log|a|+iArga)
=az+w
(az)w=azw
二つ目は0.5個すなわち、
括弧の中身が1/n乗の時は成立します。
証明
a1/n=e(1/n)(log|a|+iArga)
=e(1/n)log|a|ei(1/n)Arga
より
|a1/n|=e(1/n)log|a|,Arga1/n=(1/n)Arga
(a1/n)w=ew(log|a1/n|+iArga1/n)
=ew{(1/n)log|a|+i(1/n)Arga}
=ew/n(log|a|+iArga)
=aw/n=a(1/n)×w
反例
一方、括弧の外が1/n乗の時は成立しません。
{(−1)2}1/2=11/2=1
に対して
(−1)2×(1/2)=(−1)1=−1
なので
(az)1/n≠az×(1/n)
(ab)z=azbz
三つ目も成立しません。
反例
{(−1)×(−1)}1/2=11/2=1
に対して
(−1)1/2×(−1)1/2=i×i=−1
なので
(ab)1/n≠a1/nb1/n
まとめ
実数に限ると
負の数の累乗は整数乗までしか定義できないので、
1/n乗を求めて複素数の指数関数を持ち込みました。
この関数は整数乗までの累乗の定義と対応付きつつ
負の数の1/n乗も考える事ができます。
しかし代償に指数法則が失われてしまう
(1.5個は満たされる)という物でした。
やはり綺麗な指数関数を作る為には条件
a>0
が必要。
強引に底が負の指数関数を作ると、
何かしら無理が生じてしまいます。