大学数学

【底が負の指数関数】
指数法則と引き換えに作れます

指数関数には条件a>0が付けられています。

y=(1)x

の様な底が負の指数関数をなぜ除くかと言うと

(1)1/2=i

つまり負の数の1/n乗は複素数になってしまい
実数だけでは関数を定義できないからです。

そこで複素関数論の教科書を開くと
複素数の指数関数

という物があり、こちらは底が負でも許されます。

しかし実数の時に成り立っていた
指数法則が半分失われてしまう事になります。

この記事では、

複素数の力を借りると底が負でも
累乗の定義を満たす指数関数が作れる事を示した後

指数法則がどこで破綻するかまで説明したいと思います。

複素関数論の基礎を修めた大学2~3年生を想定して書きます。

複素数の指数関数

複素数を仲間に入れると、
底が負の指数関数を考える事ができます。

0でない複素数aについて指数関数を次で定義します。

複素数の指数関数

az:=ez(log|a|+iArga)(zC)

ここでArg(z)はzの偏角を表す関数で値の範囲を

0Argz<2π(zC{0})

と定めます。

a=-1とすれば、

(1)z=ez{log|1|+iArg(1)}

=ez(0+iπ)

=eiπz

なので

-1の指数関数

(1)z=eiπz

負の数の指数関数が求まりました。

こちらは

(1)1/2=eiπ/2=i

の様に1/n乗も正しく計算されます。

定義の照らし合わせ

複素数には整数乗までなら既に
実数と同様の累乗が定義されています。

始めに、この新しい指数関数が
それらの定義と一致する事を確認します。

自然数乗

an=en(log|a|+iArga)

ezは一番目の指数法則

ezew=ez+w

を満たすので(証明はコーシー積より)

=e(log|a|+iArga)×e(n1)(log|a|+iArga)

繰り返し用いて、

=e(log|a|+iArga)×e(log|a|+iArga)××e(log|a|+iArga)n

=a×a××an

0乗

a0=e0×(log|a|+iArga)=e0=1

マイナス乗

aが正の実数でない時(正の実数の時は明らか)

Arga+2π=Arg(1/a)

なので

an=en(log|a|+iArga)

=en(log|a|iArga)

=en{log|a|1+iArg(1/a)i2π}

=en{log|1/a|+iArg(1/a)}×ei2πn

=(1a)n×1

=1a×1a××1an

=1an

ポイント

整数乗までの定義が等しいから、
複素数も整数乗まで指数法則を満たします。

1/n乗

複素数のおかげで
負の数を含めて1/n乗を定義できます。

実際、

(a1/n)n=e(1/n)(log|a|+iArga)××e(1/n)(log|a|+iArga)n

ezの指数法則を用いて

=e(2/n)(log|a|+iArga)×e(1/n)(log|a|+iArga)××e(1/n)(log|a|+iArga)n2

==e(n/n)(log|a|+iArga)=a

よりa1/nはaのn乗根になっています。

指数法則は満たされる?

1/n乗まで指数を拡張できましたが
問題は指数法則です。

結論から言うと、
3つの指数法則の内1.5個が満たされます。

azaw=az+w

一つ目は任意の複素数z、wについて成立します。

証明

azaw=ez(log|a|+iArga)×ew(log|a|+iArga)

=e(z+w)(log|a|+iArga)

=az+w◻

(az)w=azw

二つ目は0.5個すなわち、
括弧の中身が1/n乗の時は成立します。

証明

a1/n=e(1/n)(log|a|+iArga)

=e(1/n)log|a|ei(1/n)Arga

より

|a1/n|=e(1/n)log|a|,Arga1/n=(1/n)Arga

(a1/n)w=ew(log|a1/n|+iArga1/n)

=ew{(1/n)log|a|+i(1/n)Arga}

=ew/n(log|a|+iArga)

=aw/n=a(1/n)×w◻

反例

一方、括弧の外が1/n乗の時は成立しません。

{(1)2}1/2=11/2=1

に対して

(1)2×(1/2)=(1)1=1

なので

(az)1/naz×(1/n)◻

(ab)z=azbz

三つ目も成立しません。

反例

{(1)×(1)}1/2=11/2=1

に対して

(1)1/2×(1)1/2=i×i=1

なので

(ab)1/na1/nb1/n◻

まとめ

実数に限ると
負の数の累乗は整数乗までしか定義できないので、

1/n乗を求めて複素数の指数関数を持ち込みました。

この関数は整数乗までの累乗の定義と対応付きつつ
負の数の1/n乗も考える事ができます。

しかし代償に指数法則が失われてしまう
(1.5個は満たされる)という物でした。

やはり綺麗な指数関数を作る為には条件

a>0

が必要。

強引に底が負の指数関数を作ると、
何かしら無理が生じてしまいます。

野本隆宏様のサイト

複素数の指数関数・対数関数・べき関数

複素関数論

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