この記事では大学数学の無理数乗の定義を説明します。
合わせて、無理数乗により指数関数が作られ
単調増加かつ連続な事を
証明してくれているサイト様を紹介し、
最後に高校数学の無理数乗の定義に
落ち着く所まで書きたいと思います。
実数の連続性公理、指数法則、ε-δ論法
無理数乗の定義
a>1の場合
実数a>1について無理数x乗を
無理数乗の定義（a>1）
\( a^x := \sup \{ a^r \, | \, r \in \mathbb{Q}, \quad r <x \} \)
で定義します。
上限の存在
a>1の時、有理数r、sについて
\( r < s \Leftrightarrow a^r < a^s \)
なのでsをxより大きくとればasは
\( \{ a^r \, | \, r \in \mathbb{Q}, \quad r <x \} \)
の上界、定義式の右辺の上限が存在します。
（実数の連続性公理）
指数関数の性質
この定義により指数関数ax（a>1）は
実数の上で単調増加かつ連続になります。
証明はSTCO LIBRARY様のpdfファイルを参照ください。
数列による書き換え
先の定義を数列で書き直した物もあります。
無理数乗の定義（数列）
\( a^x := \lim_{n \to \infty} a^{r_n} \)
ここで{rn}は
\( \lim_{n \to \infty} r_n = x, \quad r_n <x \)
を満たす単調増加な有理数列。
0<a<1の場合
0<a<1の時の無理数x乗は
無理数乗の定義（0<a<1）
$$ a^x := \left( \frac{1}{a} \right)^{-x} \hspace{20cm}$$
の様に定義します。
有理数xについても（有理数乗の）指数法則から
$$ a^x = (a^{-1})^{-x} = \left( \frac{1}{a} \right)^{-x} \hspace{20cm}$$
が成り立っているので、
実数全体を通して指数関数ax（0<a<1）を
$$ y = \left( \frac{1}{a} \right)^{-x} \hspace{20cm}$$
と書けます。
(1/a)xは単調増加な連続関数だったので
(1/a)-xは単調減少する連続関数です。
高校数学の定義
以上の定義は指数関数を連続にします。
よって高校数学で習った定義が正当化されます。
実数a>0について
無理数乗の定義（高校数学）
\( a^x := \lim_{n \to \infty} a^{r_n} \)
ここで{rn}は
\( \lim_{n \to \infty} r_n = x \)
を満たす任意の有理数列。
負の数を除く理由は？
底から負の数を除くのは
\( (-1)^{1/2} = i \)
の様に、有理数乗の段階で
複素数が出て来てしまうからです。
実数の範囲で関数を作るため
条件a>0が付きます。
複素数の指数関数なら底を自由に選べます。
計算のやり方
\( 2^\sqrt{2} \)
などの計算にはテイラー展開を用います。
まとめ
高校の授業で無理数乗は
有理数乗の極限として導入されました。
この定義において曖昧な
極限は存在するか、
という疑問に実数の連続性公理
本当に指数関数を連続にするか、
にはε-δ論法
で答えを与えたのが
大学の無理数乗の定義です。