高校数学で習う指数法則は有理数乗までで、
実数乗において成り立っているかは
厳密な説明を避けています。
この記事では、実数の無理数乗の定義から始めて
指数法則が実数乗の場合も含め
成り立つことを証明します。
無理数乗の定義
xを無理数とする時、実数a>1のx乗を次で定義します。
$$a^x \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{n \to \infty} a^{q_n} \hspace{20cm}$$ここで{qn}は$$\lim_{n \to \infty} q_n = x ,\quad q_n < x \quad q_n \in \mathbb{Q} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \hspace{20cm}$$を満たす任意の単調増加数列である。
\( \{a^{q_n} \} \)は上に有界な単調増加数列なので収束します。
また収束先は
条件を満たす任意の{qn}で一致するので
（証明は省きます）
一意にaxを定義できています。
0<a<1の時は次の様にします。
$$a^x \stackrel{\mathrm{def}}{=} \left( \frac{1}{a} \right)^{-x} \hspace{20cm}$$
(1/a)>1が先の定義を流用できる理由です。
以上により指数関数axは実数上で定まり、
連続です。（証明略）
実数乗の指数法則
指数法則とは次の３つの等式のことです。
$$a^{x+y} = a^x a^y, \quad (ab)^x = a^x b^x, \quad (a^x)^y = a^{xy} \hspace{20cm}$$
xとyが有理数の時の指数法則は明らかなので、
実数に拡張することを目標にします。
以下の証明では数列{xn}、{yn}は実数x、yに対して
$$\lim_{n \to \infty} x_n = x ,\quad x_n \in \mathbb{Q} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \hspace{20cm}$$ $$\lim_{n \to \infty} y_n = y, \quad y_n \in \mathbb{Q} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \hspace{20cm}$$
を満たすとし、
２つの収束列の和差積商について
極限操作は分配可能な事実を使います。
\(a^{x+y} = a^x a^y\)の証明
\(a^{x_n+y_n} = a^{x_n} a^{y_n}\)
は認める。
\( \lim_{n \to \infty} (x_n+y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n = x + y\)
なので、指数関数は連続より
\( \lim_{n \to \infty} a^{x_n+y_n} = a^{x+y}\)
である。一方で、
\( \lim_{n \to \infty} a^{x_n} a^{y_n} = \lim_{n \to \infty} a^{x_n} \lim_{n \to \infty} a^{y_n} = a^x a^y\)
以上より示された。\(\square\)
\( (ab)^x = a^x b^x \)の証明
\( (ab)^{x_n} = a^{x_n} b^{x_n} \)
は認める。
指数関数は連続より、
\( \lim_{n \to \infty} (ab)^{x_n} = (ab)^x \)
また
\( \lim_{n \to \infty} a^{x_n} b^{x_n} = \lim_{n \to \infty} a^{x_n} \lim_{n \to \infty} b^{x_n} = a^x b^x \)
なので示される。\(\square\)
\( (a^x)^y = a^{xy} \)の証明
\( (a^{x_n})^{y_n} = a^{x_n y_n} \)
は認める。
\( \lim_{n \to \infty} (x_n y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \lim_{n \to \infty} y_n = xy \)
なので、指数関数は連続より
\( \lim_{n \to \infty} a^{x_n y_n} = a^{xy} \)
一方
$$ \lim_{n \to \infty} a^{x_n} = a^x \hspace{20cm}$$関数列$$ \{ f_n(t)\} \stackrel{\mathbb{def}}{=} \{ t^{y_n} \} \hspace{20cm}$$はaxの近傍上でtyに一様収束。f(t)=tyは点axで連続。
であり、この時
\( \lim_{n \to \infty} (a^{x_n})^{y_n} = (a^x)^y \)
を言える。
以上、実数についての指数法則が示された。\(\square\)
↓最後の等式を示すのに使った定理の証明はこちらです。
参考書籍
無理数乗の定義ならびに証明を略した部分は
こちらの本に載っています。