大学数学

【線形代数】
行列式の転置不変性をわかりやすく証明

行列Aとその転置行列AT

行列式は等しい事が知られています。

なるべく行間は少なく、

分かりやすさ重視で
証明したいと思います。

n文字の置換と符号は勉強済みとします。

行列式の転置不変性

補題を二つ用意します。

逆置換の符号補題

置換σと、その逆置換σ-1の符号は等しい。

証明

単位置換をεとして

σ1σ=ϵ

である。

sgn(σ1σ)=sgn(ϵ)

sgn(σ1)sgn(σ)=1

符号は1または-1なので

sgn(σ1)=sgn(σ)◻

置換全体の集合の逆補題

n文字の置換全体の集合Snと、

その全ての逆置換の集合

{σ1|σSn}

は等しい。

証明

σをn文字の置換とすると

σ-1もn文字の置換なので

{σ1|σSn}Sn

また任意のSnの元τは

τ=(τ1)1

の様に書け、

τ-1はSnの元なので

(τ1)1{σ1|σSn}

よって

Sn{σ1|σSn}

以上より

Sn={σ1|σSn}

が示される。◻

定義の確認

n次正方行列A=[aij]の行列式det(A)を次で定義します。

行列式の定義

det(A):=σSnsgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)anσ(n)

本定理

行列式の転置不変性

det(A)=det(A)

証明

A=[aij]、AT=[bij]

と置くとbij=ajiである。

関係式を用いて

det(A)=σSnsgn(σ)b1σ(1)b2σ(2)bnσ(n)

=σSnsgn(σ)aσ(1)1aσ(2)2aσ(n)n

ここで列の添え字kを、

行の添え字σ(k)で表す自明な書き換えをする。

=σSnsgn(σ)aσ(1)σ1(σ(1))aσ(2)σ1(σ(2))aσ(n)σ1(σ(n))

σはn文字の置換なので

{σ(1), σ(2), ..., σ(n)}={1, 2, ..., n}

順序を整えれば

=σSnsgn(σ)a1σ1(1)a2σ1(2)anσ1(n)

となる。

補題1より

=σSnsgn(σ1)a1σ1(1)a2σ1(2)anσ1(n)

σ-1をτと置いて

=τ{σ1|σSn}sgn(τ)a1τ(1)a2τ(2)anτ(n)

補題2より

=τSnsgn(τ)a1τ(1)a2τ(2)anτ(n)=det(A)◻

まとめ

転置不変性の証明には
行列式の基本事項が詰まっています。

n文字の置換、互換により符号、
行列式自体もと

覚える定義の多さが難しさの理由です。

落ち着いて一つずつ取り組めば大丈夫です。

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