
行列Aとその転置行列ATの
行列式は等しい事が知られています。
なるべく行間は少なく、
分かりやすさ重視で
証明したいと思います。
n文字の置換と符号は勉強済みとします。
目次[開く]
行列式の転置不変性
補題を二つ用意します。
逆置換の符号補題
置換σと、その逆置換σ-1の符号は等しい。
証明
単位置換をεとして
σ−1σ=ϵ
である。
sgn(σ−1σ)=sgn(ϵ)
⇔sgn(σ−1)sgn(σ)=1
符号は1または-1なので
sgn(σ−1)=sgn(σ)
置換全体の集合の逆補題
n文字の置換全体の集合Snと、
その全ての逆置換の集合
{σ−1|σ∈Sn}
は等しい。
証明
σをn文字の置換とすると
σ-1もn文字の置換なので
{σ−1|σ∈Sn}⊂Sn
また任意のSnの元τは
τ=(τ−1)−1
の様に書け、
τ-1はSnの元なので
(τ−1)−1∈{σ−1|σ∈Sn}
よって
Sn⊂{σ−1|σ∈Sn}
以上より
Sn={σ−1|σ∈Sn}
が示される。
定義の確認
n次正方行列A=[aij]の行列式det(A)を次で定義します。
行列式の定義
det(A):=∑σ∈Snsgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)⋯anσ(n)
本定理
行列式の転置不変性
det(A⊤)=det(A)
証明
A=[aij]、AT=[bij]
と置くとbij=ajiである。
関係式を用いて
det(A⊤)=∑σ∈Snsgn(σ)b1σ(1)b2σ(2)⋯bnσ(n)
=∑σ∈Snsgn(σ)aσ(1)1aσ(2)2⋯aσ(n)n
ここで列の添え字kを、
行の添え字σ(k)で表す自明な書き換えをする。
=∑σ∈Snsgn(σ)aσ(1)σ−1(σ(1))aσ(2)σ−1(σ(2))⋯aσ(n)σ−1(σ(n))
σはn文字の置換なので
{σ(1), σ(2), ..., σ(n)}={1, 2, ..., n}
順序を整えれば
=∑σ∈Snsgn(σ)a1σ−1(1)a2σ−1(2)⋯anσ−1(n)
となる。
補題1より
=∑σ∈Snsgn(σ−1)a1σ−1(1)a2σ−1(2)⋯anσ−1(n)
σ-1をτと置いて
=∑τ∈{σ−1|σ∈Sn}sgn(τ)a1τ(1)a2τ(2)⋯anτ(n)
補題2より
=∑τ∈Snsgn(τ)a1τ(1)a2τ(2)⋯anτ(n)=det(A)
まとめ
転置不変性の証明には
行列式の基本事項が詰まっています。
n文字の置換、互換により符号、
行列式自体もと
覚える定義の多さが難しさの理由です。
落ち着いて一つずつ取り組めば大丈夫です。