【線形代数】
行列式の転置不変性をわかりやすく証明

行列Aとその転置行列A^Tの

行列式は等しい事が知られています。

なるべく行間は少なく、

分かりやすさ重視で
証明したいと思います。

n文字の置換と符号は勉強済みとします。

行列式の転置不変性

補題を二つ用意します。

逆置換の符号補題

置換σと、その逆置換σ^-1の符号は等しい。

証明

単位置換をεとして

$\sigma^{-1} \sigma = \epsilon$

である。

$\quad\, \mathrm{sgn} ( \sigma^{-1} \sigma )= \mathrm{sgn} (\epsilon)$

$\Leftrightarrow \mathrm{sgn} ( \sigma^{-1}) \mathrm{sgn}( \sigma )= 1$

符号は１または-1なので

$\mathrm{sgn} ( \sigma^{-1}) = \mathrm{sgn}( \sigma ) \quad \square$

置換全体の集合の逆補題

n文字の置換全体の集合S_nと、

その全ての逆置換の集合

$\{ \sigma^{-1} \, | \, \sigma \in S_n \}$

は等しい。

証明

σをn文字の置換とすると

σ^-1もn文字の置換なので

$\{ \sigma^{-1} \, | \, \sigma \in S_n \} \subset S_n$

また任意のS_nの元τは

$\tau = (\tau^{-1} )^{-1}$

の様に書け、

τ^-1はS_nの元なので

$(\tau^{-1} )^{-1} \in \{ \sigma^{-1} \, | \, \sigma \in S_n \}$

よって

$S_n \subset \{ \sigma^{-1} \, | \, \sigma \in S_n \}$

以上より

$S_n = \{ \sigma^{-1} \, | \, \sigma \in S_n \}$

が示される。$\square$

定義の確認

n次正方行列A=[a_ij]の行列式det(A)を次で定義します。

本定理

証明

A=[a_ij]、A^T=[b_ij]

と置くとb_ij=a_jiである。

関係式を用いて

$$det(A^\top) = \sum_{\sigma \in S_n } \mathrm{sgn} (\sigma ) b_{1 \sigma(1) } b_{2 \sigma(2) } \cdots b_{n \sigma(n)} \hspace{20cm}$$

$$\quad\quad\quad\!\quad\! = \sum_{\sigma \in S_n } \mathrm{sgn} (\sigma ) a_{ \sigma(1) 1 } a_{ \sigma(2) 2 } \cdots a_{ \sigma(n) n} \hspace{20cm}$$

ここで列の添え字kを、

行の添え字σ(k)で表す自明な書き換えをする。

$$= \sum_{\sigma \in S_n } \mathrm{sgn} (\sigma ) a_{ \sigma(1) \sigma^{-1}(\sigma(1) ) } a_{ \sigma(2) \sigma^{-1}(\sigma(2) ) } \cdots a_{ \sigma(n) \sigma^{-1}(\sigma(n) )} \hspace{20cm}$$

σはn文字の置換なので

{σ(1), σ(2), ..., σ(n)}={1, 2, ..., n}

順序を整えれば

$$= \sum_{\sigma \in S_n } \mathrm{sgn} (\sigma ) a_{ 1 \sigma^{-1}(1) } a_{ 2 \sigma^{-1}(2) } \cdots a_{n \sigma^{-1}(n) } \hspace{20cm}$$

となる。

補題１より

$$= \sum_{\sigma \in S_n } \mathrm{sgn} (\sigma^{-1} ) a_{ 1 \sigma^{-1}(1) } a_{ 2 \sigma^{-1}(2) } \cdots a_{n \sigma^{-1}(n) } \hspace{20cm}$$

σ^-1をτと置いて

$$= \sum_{\tau \in \{ \sigma^{-1} \, | \, \sigma \in S_n \} } \mathrm{sgn} (\tau ) a_{ 1 \tau(1) } a_{ 2 \tau(2) } \cdots a_{n \tau(n) } \hspace{20cm}$$

補題２より

$$= \sum_{\tau \in S_n } \mathrm{sgn} (\tau ) a_{ 1 \tau(1) } a_{ 2 \tau(2) } \cdots a_{n \tau(n) } = det(A) \quad \square\hspace{20cm}$$

まとめ

転置不変性の証明には
行列式の基本事項が詰まっています。

n文字の置換、互換により符号、
行列式自体もと

覚える定義の多さが難しさの理由です。

落ち着いて一つずつ取り組めば大丈夫です。

参考文献