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積分の値はリーマンの定義通りには求めづらく 一変数の場合、積分と微分が逆の操作である事を利用して解きました。 重積分についても同様に難しく、 この場合は一変数の積分に分ける逐次積分と呼ばれる方法をとります。 逐次積分は直感的には成立して当然かつ 条件も関数の連続性のみなので定理として忘れられがちです…。 この記事では逐次積分を学び直し 積分領域の範囲の定め方や順序交換、 ガウス積分、フビニの定理との関連性まで書いて行きます。 逐次積分の定理 長方形 逐次積分の定理（長方形） f(x, y)がΩ=[a, b ...

x2、sinx、等を見ていると 関数が実数全体を定義域に持つ事は当然に感じられると思います。 指数関数axは特殊で、始めはxが自然数の時のみ値を持ちます。 この記事では xが自然数でない時について累乗の定義のされ方と理由、 指数関数の逆として対数関数が生まれ 最終的に指数が複素数まで拡張し得る所まで。 指数関数の導出過程をまとめます。 指数関数の出発点 指数関数は累乗（べき乗）から始まります。 累乗とは何かと言うと、 同じ数aを自然数n回掛け合わせる計算の事です。 $$\underbrace{ a \ti ...

この記事では大学数学の無理数乗の定義を説明します。 合わせて、無理数乗により指数関数が作られ 単調増加かつ連続な事を証明してくれているサイト様を紹介し、 最後に高校数学の無理数乗の定義に落ち着く所まで書きたいと思います。 実数の連続性公理、指数法則、ε-δ論法 無理数乗の定義 a>1の場合 実数a>1について無理数x乗を 無理数乗の定義（a>1） \( a^x := \sup \{ a^r \, | \, r \in \mathbb{Q}, \quad r <x \} \) で定義 ...

近年ASMRが人気になってそれを意識したゲームも増えたかなと思います。 この記事では、 ASMRを楽しめる無料ゲームを見つけ次第紹介します。 現在のゲーム数は１つです…。 Bubble Fall 同じ色の球を３つ揃えると落ちて来るお馴染みのゲーム。 球の配置が規則的かつカラフルで視覚的ASMR効果を得られます。 グラフィックや音も綺麗に作り込まれ、遊んでいると眠たくなります。 Bubble Fallで遊ぶ

有理数乗について指数法則が成り立ちます。 この記事では 有理数乗の定義から始めて、有理数乗の指数法則を証明します。 有理数乗の指数法則 実数a、b>0と有理数r、sは次の３つの等式を満たします。 有理数乗の指数法則 \( a^r a^s = a^{r+s} \) \( (a^r)^s = a^{rs} \) \( (ab)^r = a^r b^r \) 定義の確認 1/n乗 自然数nについて 1/n乗の定義 \( a^{1/n} := x \) \( ( x^n = a, \quad x > ...

整数乗について、指数法則が成り立ちますが 証明は教科書には簡単にしか書かれていないと思います。 なぜかと言うと 厳密に証明しようとすると計算の量がとても多いからです…。 この記事では、面倒がらずに 整数乗の指数法則を一つずつ証明して行きます。 整数乗の指数法則 実数a、b≠0と整数p、qは次の３つの等式を満たします。 整数乗の指数法則 \( a^p a^q = a^{p+q} \) \( (a^p)^q = a^{pq} \) \( (ab)^p = a^p b^p \) 整数＝｛自然数、０、負の数｝なの ...

せっかくの良い演奏もノイズが混じると台無しです。 この記事は、 エレキベースにまつわるノイズの原因を集められるだけ集めて また、なるべくノイズの被害を減らせるよう対処法を載せてます。 エレキギターにも共通する所があるのでギタリストの方もどうぞ♪ 弦由来のノイズ 弦と指の擦れる音 弦と指が擦れ音れた際のキュッとした音（フィンガーノイズ）はエリクサー等のコーティング弦で解消できます。 弦のギザギザがフィルムの様な素材で埋められた滑らかな触り心地なので、 ノイズを防ぎつつ演奏のしやすさも上がります。 リンク ま ...

行列式の大きさは図形的には、 行列を構成するn個の独立なベクトルで張られる平行体の体積を意味します。 これは ２次元では平行四辺形 ３次元では平行六面体 の体積を計算するための道具となり n次元については、 多重積分の座標変換の際ヤコビアンが利用される理由でもあります。 この記事では、線形代数の知識を用いて行列式の絶対値がn次元平行体の体積である事を証明します。 行列の基本変形、シュミットの正規直交化など 多次元の体積 始めに（ユークリッド距離の入った）実空間Rnのk個の一次独立なベクトル \( \{ \ ...

ベース歴が長くなって来ると、 「弦は縦振動と横振動の２パターンを持つ」 という話を聞いた事があると思います。 この記事では、 それぞれの振動の方向を画像でチェックして練習方法まで、縦振動の基礎知識をまとめます。 縦振動、横振動とは 横振動 弦の張られている方向から、横に90°折れた向きに弾くのが横振動です。 弦の振動を素直にイメージした通りの一般的な方法になります。 縦振動 弦の張られている方向から、縦に90°折れた向きに弾くのが縦振動です。 ボディに近付いたり遠のいたりする揺れ方で、 ピックアップの原理 ...

多次元ヤコビ行列式（ヤコビアン）の定義と重積分の変数変換の定理です。 1~3次元の具体例を添えて、イメージを掴める記事を目指しました。 ヤコビ行列式の定義 ΩとDをRnの有界な領域とする。 Ωの元(u1, ..., un)を、Dの元(x1, ..., xn)に写す全単射な写像Φ \( \Phi : \quad \;\; \Omega \quad\quad\; \to \quad\quad D \) \( \quad (u_1, \cdots , u_n) \, \mapsto (x_1, \cdots , ...